天目春辉
天目春辉

高中奥数 2022-04-02

构造辅助命题

如果一个命题直接证比较困难,可以试着考虑建立辅助命题来帮助证题.

2022-04-02-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P079 例15）

给定两组数和,现知




求证:对于任何自然数,都有

分析我们猜想是否有如下的递推关系:



从而联想到构造辅助命题:
若,且满足题设的条件,那么:

证明

因为,故存在正数使得:





于是
\begin{aligned} &a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\\ =&\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)x_{1}+\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n-1}\right)x_{2}+\cdots +b_{1}x_{n}\\ =&b_{1}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)+b_{2}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}\right)+\cdots +b_{n}x_{1}\\ >&b_{1}\left(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}\right)+b_{2}\left(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n-1}\right)+\cdots +b_{n}y_{1}\\ =&\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)y_{1}+\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n-1}\right)y_{2}+\cdots +b_{1}y_{n}\\ =&a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots +a_{n}y_{n}, \end{aligned}
故式成立再依次取,利用不等式的传递性,自大到小逐渐缩小,即得所要证的不等式.

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