数据结构基础：P9.2-排序(一)---＞希尔排序

本系列文章为浙江大学陈越、何钦铭数据结构学习笔记，前面的系列文章链接如下：
数据结构基础：P1-基本概念
数据结构基础：P2.1-线性结构—＞线性表
数据结构基础：P2.2-线性结构—＞堆栈
数据结构基础：P2.3-线性结构—＞队列
数据结构基础：P2.4-线性结构—＞应用实例：多项式加法运算
数据结构基础：P2.5-线性结构—＞应用实例：多项式乘法与加法运算-C实现
数据结构基础：P3.1-树(一)—＞树与树的表示
数据结构基础：P3.2-树(一)—＞二叉树及存储结构
数据结构基础：P3.3-树(一)—＞二叉树的遍历
数据结构基础：P3.4-树(一)—＞小白专场：树的同构-C语言实现
数据结构基础：P4.1-树(二)—＞二叉搜索树
数据结构基础：P4.2-树(二)—＞二叉平衡树
数据结构基础：P4.3-树(二)—＞小白专场：是否同一棵二叉搜索树-C实现
数据结构基础：P4.4-树(二)—＞线性结构之习题选讲：逆转链表
数据结构基础：P5.1-树(三)—＞堆
数据结构基础：P5.2-树(三)—＞哈夫曼树与哈夫曼编码
数据结构基础：P5.3-树(三)—＞集合及运算
数据结构基础：P5.4-树(三)—＞入门专场：堆中的路径
数据结构基础：P5.5-树(三)—＞入门专场：File Transfer
数据结构基础：P6.1-图(一)—＞什么是图
数据结构基础：P6.2-图(一)—＞图的遍历
数据结构基础：P6.3-图(一)—＞应用实例：拯救007
数据结构基础：P6.4-图(一)—＞应用实例：六度空间
数据结构基础：P6.5-图(一)—＞小白专场：如何建立图-C语言实现
数据结构基础：P7.1-图(二)—＞树之习题选讲：Tree Traversals Again
数据结构基础：P7.2-图(二)—＞树之习题选讲：Complete Binary Search Tree
数据结构基础：P7.3-图(二)—＞树之习题选讲：Huffman Codes
数据结构基础：P7.4-图(二)—＞最短路径问题
数据结构基础：P7.5-图(二)—＞哈利·波特的考试
数据结构基础：P8.1-图(三)—＞最小生成树问题
数据结构基础：P8.2-图(三)—＞拓扑排序
数据结构基础：P8.3-图(三)—＞图之习题选讲-旅游规划
数据结构基础：P9.1-排序(一)—＞简单排序(冒泡、插入)

---

一、希尔排序(Shell Sort)

希尔排序是 Donald Shell 在1959年的时候提出来的，其基本思路就是：利用了插入排序的简单，同时他要克服插入排序每次只交换相邻两个元素这个缺点。

1.1 希尔排序的例子

例子：

我这里有个数组

Shell sort的第一步要先做一个5间隔的排序(这个序列每隔5个来选取元素构成子序列)，这里得到子序列(81,35,41)

对这个子序列做插入排序，然后将其放在对应的位置

接着继续做一个5间隔的排序，这里得到序列(94,17,75)

对这个子序列做插入排序，然后将其放在对应的位置

接着继续做5间隔的排序，子序列为(11,95,15)

接着继续做5间隔的排序，子序列为(96,28)

接着继续做5间隔的排序，子序列为(12,58)

此时调整间隔，在5间隔排序的结果基础上开始做3间隔排序。
开始做第一次3间隔排序

开始做第二次3间隔排序

开始做第三次3间隔排序

最后在3间隔排序的结果基础上做1间隔排序

1.2 希尔排序流程与代码实现

希尔排序的流程如下：

①定义增量序列$D_M>D_{M-1}>...>D_1=1$
上面我们是从5到3到1，一般而言初始的$D_M=\lfloor N/2\rfloor ,D_k=\lfloor D_{k+1}/2\rfloor$，然后每结束一轮让其除以2
②对每个 $D_k$ 进行 “$D_k$-间隔” 排序 $(\mathrm{k}=\mathrm{M},\mathrm{M}-1,\dots 1)$
进行 $D_5$-间隔 排序
进行 $D_3$-间隔 排序
进行 $D_1$-间隔 排序
③注意："$D_k$-间隔" 有序的序列，在执行 “$D_{k-1}$-间隔” 排序后，仍然是"$D_k$-间隔" 有序的。
进行 $D_3$-间隔 排序后的序列仍保持 $D_5$-间隔 有序

希尔排序对应代码如下：

#include 

void Shell_sort(int A[], int N)
{
	int Tmp, i;
	for (int D = N / 2; D > 0; D /= 2) { /* 希尔增量序列 */
		for (int P = D; P < N; P++) { /* 插入排序 */
			Tmp = A[P];
			for (i = P; i >= D && A[i - D] > Tmp; i -= D)
				A[i] = A[i - D];
			A[i] = Tmp;
		}
	}
}

int main(void)
{
	int A[5] = {1, 5, -1, -4, 3};
	printf("希尔排序前：\n");
	for (int i = 0; i < 5; i++)
		printf("%d ", A[i]);
	Shell_sort(A, 5);
	printf("\n希尔排序后：\n");
	for(int i = 0; i < 5; i++)
		printf("%d ", A[i]);

	return 0;
}

运行，结果正确

1.3 希尔排序的复杂度

但是一个很坏的消息是：最坏情况下，希尔排序的时间复杂度是 $\theta ({\mathrm{N}}^2)$。注意的是，这里是 $\theta$，代表即是上界也是下界，说明复杂度实打实的会达到 $N^2$ 这个数量级。而其他排序是 $O$，代表上界，也就是最坏情况下才会使这么大。

最坏情况

这里有以下数组，共16个元素，先做一次8-间隔排序，发现元素顺序没改变

在8-间隔排序结果基础上做4-间隔排序，发现顺序还是没变

在4-间隔排序结果基础上做2-间隔排序，发现顺序还是没变

最后还是靠1间隔排序才得到最终结果

原因分析：增量元素不互质(8是4的倍数，4是2的倍数)，则小增量可能根本不起作用。

为了克服这个问题，有更多的学者提出了更多的增量序列。

二、C语言代码：希尔排序-用Sedgewick增量

整体代码如下

#include 
#include 
#include 

void ShellSort(int A[], int N)
{ /* 希尔排序 - 用Sedgewick增量序列 */
	int Si, D, P, i;
	int Tmp;
	/* 这里只列出一小部分增量 */
	int Sedgewick[] = { 929, 505, 209, 109, 41, 19, 5, 1, 0 };
	/* 初始的增量Sedgewick[Si]不能超过待排序列长度 */
	for (Si = 0; Sedgewick[Si] >= N; Si++); 

	for (D = Sedgewick[Si]; D > 0; D = Sedgewick[++Si]) {
		for (P = D; P < N; P++) { /* 插入排序*/
			Tmp = A[P];
			for (i = P; i >= D && A[i - D] > Tmp; i -= D)
				A[i] = A[i - D];
			A[i] = Tmp;
		}
	}
}

int main(void)
{
	int a;
	int A[30];
	//为数组A分配30个随机值
	srand((unsigned)time(NULL));
	for (int i = 0; i < 30; i++) {
		a = rand();
		A[i] = a;
	}	
	printf("希尔排序前：\n");
	for (int i = 0; i < 30; i++)
		printf("%d ", A[i]);
	ShellSort(A, 30);
	printf("\n希尔排序后：\n");
	for(int i = 0; i < 30; i++)
		printf("%d ", A[i]);

	return 0;
}

运行，结果正确

三、小测验

希尔排序是稳定的 (错误)