本文作者：陈 鼎，中南财经政法大学统计与数学学院
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(一) 线性模型与岭回归
1.线性模型
给定由m个属性表示的特征向量X=(x1,x2,x3,...,xm)，其中xi是特征向量X在第i个属性上的取值，线性模型(linear model)通过构造一个特征向量的线性组合来表示预测值f(x)与特征向量X之间的函数关系，其一般表示形式如下：
利用矩阵方法可以表示为：
其中W = (w1,w2,....,wm)，通过特定算法求解出W矩阵与常数项b，线性模型就可以确定。
为了求解系数矩阵W与常数项b，给定样本数据集(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),...(xn,yn)，我们考虑优化如下损失函数：
观察上述损失函数，易知损失函数为凸函数，具唯一最小值。此处损失函数又叫均方误差，基于均方误差最小化进行模型求解的方法称为最小二乘法(ordinary least squares)。将损失函数分别对W与b求偏导数并令偏导数为0，所需公式如下：
求解方程组，得到W的最小二乘估计:
最小二乘估计量具有线性，无偏性，方差最小的优良统计性质。
2.岭回归
观察正规方程组的解，当X转置与X矩阵相乘得到的矩阵不可逆(即特征数量远大于训练样本个数)时，将无法通过最小二乘得到W的估计；同时，在训练模型时易会出现过拟合的情况。为了解决上述问题，常用的方是引入正则化项，优化后得到正则化框架如下：
其中Loss为损失函数，P(w)为惩罚项(Penalty)，lambda为正则化力度为超参数。常用的惩罚项有L1(Lasso)与L2(Ridge，即岭回归)，小编将以L2为例，简要说明其原理。
岭回归，又称权值衰减，其惩罚项为W的转置乘W矩阵，令
对J(w)函数求一阶偏导数并令其为0，求得W的最优解为：
其中I为单位矩阵，观察上述估计量，X转置X为半正定矩阵，加了lambda倍的单位矩阵后显然可逆，即岭回归很好地解决了原估计量中矩阵不可逆的问题。
(二) Logistic回归与sigmod函数
1.线性分类与Logistic回归
线性分类(Liner Classification)旨在寻找一个激活函数，将线性回归问题转换成一个线性分类问题。线性分类问题分为两大类，即硬分类与软分类。硬分类是输入一个值(f(x))，返回一个确定的类别(y={0,1})；软分类则输入一个值(f(x))，返回这个样本属于某种类别的概率p(即y=[0,1])。硬分类的代表为感知机、线性判别分析(Fisher LDA)，而软分类则包括了logistic回归，朴素贝叶斯分类器(naivebayes classifier)，高斯判别分析(Gaussian discriminant analysismodel)等。
Logistic回归是一个著名的线性分类算法，利用Logistic回归可以将线性回归问题很好地转化成一个线性二分类问题。由线性模型的原理可知，预测值f(x,W)是一个区间为实数集R的连续型变量；而Logistic回归通过激活函数将预测值转换到(0,1)区间上的对应输出，输出结果代表样本属于"正例"类别的概率p。若概率p>0.5，分类器则判别样本属于正例；若概率p<0.5，则分类器判别样本属于反例。需要注意的是，在Python的sklearn模块中，默认将取训练集中数目较少的类别视为正例。
2.Sigmod函数
Sigmod函数是一个单调递增的平滑曲线，是Logistic回归中很好的激活函数。Sigmod函数表达式与图像如下：
图1.Sigmod分布函数，x轴为输入的f(x,W)预测值，纵坐标为对应分类概率值p
从直观上看，给定一个线性模型中的样本预测值f(x,W)，我们总能在sigmod函数中找到一个(0,1)之间的实数与f(x)一一对应，该实数表示样本属于正例类别的概率p。从数学角度，Sigmod函数求出了给定f(x,W)条件下的该类别属于某个类别的条件概率：
(三) 优化策略
在确定模型之后，我们需要确定一个最合适的判定标准，在所有的可能模型集合中找出一个最优的模型(即确定W)，就需要用到损失函数。在Logistic回归中，常用的损失函数为对数似然损失函数。其函数表达式由最大似然估计法(MLE)导出，表达式如下：
考虑优化如下损失函数：
该损失函数本质上为信息论中的交叉熵(Cross Entropy)的相反数，损失函数数值越小，则该模型分类的准确率就越高。
图2.当样本真实结果为正例(1)时，预测该样本为正例类别的把握(概率)越大，则对数损失的函数值越小(图源网络)
(四) 算法
梯度下降法(gradient descent)是求解无约束最优化问题的一种常用统计方法。梯度的方向是函数值增大速度最快的方向。计算一个函数的最小值，我们随机选取一个初始点，让该点往该点梯度的反方向一步一步“移动”，不断更新，进行迭代，若该点最后的位置趋于不变(即函数值趋于收敛)，则停止迭代过程，迭代过程如下：
其中，α为学习率，即每次迭代时迈出的“步长”；▽g(x)为梯度，表示每次迭代时移动的方向。在求解一元函数极小值问题中，梯度等价于函数在该点的一阶导数。需要注意的是，在噪声相对较大的模型中，梯度下降法容易陷入"局部极小值"的问题，此时可以适当调整步长，或是利用随机梯度下降法（stochastic gradient descent)优化算法。
图3.梯度下降的可视化迭代过程(图源网络)