关于含lnx的不定积分案例

对 $\int \frac{\ln x}{x^3}dx$ 进行积分：

设 $u=\ln x$，$dv=\frac{1}{x^3}dx$，则 $du=\frac{1}{x}dx$，$v=-\frac{1}{2x^2}$。则有：
$$\int \frac{\ln x}{x^3}dx=-\frac{\ln x}{2x^2}+\int \frac{1}{2x^3}dx$$
对于第二个积分，我们可以再次使用分部积分法，设 $u=\frac{1}{2x^2}$，$dv=\frac{1}{x^3}dx$，则 $du=-\frac{1}{x^3}dx$，$v=-\frac{1}{2x^2}$。则有：
$$\int \frac{1}{2x^3}dx=-\frac{1}{4x^2}$$
将上述结果带回原式，得到：
$$\int \frac{\ln x}{x^3}dx=-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}+C$$
其中 $C$ 为任意常数。原积分的结果为 $-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}+C$。