由f(x)=arcsinx幂级数展开收敛域端点处情况的一些思考

前言

在计算如下两个幂级数展开式时，在收敛域端点处的敛散性存在一些疑问，答案中提示用比值审敛法来判断，经过尝试，无法判断。因此查阅了一些相关资料，了解了双阶乘与阶乘的一些性质，学习了Wallis公式与Stirling公式的应用，计算出这两个幂级数展开式在收敛域端点是收敛的。

(1) $f(x)=arcsinx$ 展开成x的幂级数
(2) $f(x)=ln(x+\sqrt{(1+x^2})$ 展开成x的幂级数

由于(2)的x的幂级数展开式的绝对值就是(1)的x的幂级数展开式，证明(1)在收敛域内收敛，可以推出(2)在收敛域内绝对收敛，所以本文只需对(1)进行计算。

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幂级数展开的基本步骤

• 对于$f(x)=arcsinx$无法通过拆项或者配凑出常见的8个麦克劳林级数，因为幂级数展开式逐项可积可导的性质，考虑到先求导较为简单，采用先导后积的方法计算，此过程较为常规。

• 根据答案提示使用比值审敛法计算比值为1，并不能判断1和-1处的敛散性。
  

双阶乘与阶乘的互相转化

因为比值审敛法法无法判断端点处敛散性，所以尝试往P级数上靠。了解到可以用Stirling公式来拟合n!,为了使用Stirling公式，需要将双阶乘与阶乘进行转化，公式如下：
$$(2n)!!=\prod _{k=1}^n(2k)=2^{n}n!\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{(2^{n}n!)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
(1)可以理解为，偶数2n的双阶乘中，每个数都是偶数，所以将每个数都缩小一半，形成了n!再将缩小的$\frac{1}{2}$还上，形成了$2^n$
(2)可以理解为，奇数的双阶乘中，每个数都是奇数，在(2n)!中，去除了所有偶数，剩下的就是(2n-1)!!

斯特林公式(Stirling’s approximation)

n的阶乘在n趋向正无穷时，可以用斯特林公式来进行等价，可以将n!与n的幂函数建立联系，公式为：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n$$

与p级数比较，$\frac{3}{2}$>1,所以该级数在x=1处收敛，同理在x=-1处绝对收敛。

Wallis公式的推论

由双阶乘的比值，联想到直接Wallis公式的推论，而不需要进行双阶乘与阶乘的转化。
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(2n+1)!!}{2n!!}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sqrt{n}\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\sqrt{n\pi }\text{\hspace{1em}(2)}$$

结果与使用Stirling公式完全一样。

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总结

通过两种方法的验证，最后得出结论:
$$arcsinx=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}x\in [-1,1]$$

第一次使用LaTeX打数学公式，最后放一下Cmd Markdown公式指导手册，方便以后查阅。

https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962#3%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%8B%AC%E5%8F%B7%E5%92%8C%E5%88%86%E9%9A%94%E7%AC%A6