算法基础课——DFS——n-皇后问题

n-皇后问题

1.问题描述

n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围
1≤n≤9
输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

完整代码1

第一种搜索方式

每一行地去放置皇后

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 15;
int n;
char g[N][N];
bool col[N], dg[N], udg[N];

void dfs(int u)
{
    if(u == n)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
        puts("");
        return ;
    }
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n + i - u])
        {
            col[i] = dg[u + i] = udg[n + i - u] = true;
            g[u][i] = 'Q';
            dfs(u + 1);
            col[i] = dg[u + i] = udg[n + i - u] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            g[i][j] = '.';
        }
    }
    dfs(0);
    return 0;
}

DFS按行枚举） 时间复杂度O(n!)O(n!)

代码分析

对角线 dg[u + i]，反对角线udg[n + i - u]中的下标 u+i和n + i - u表示的是截距

下面分析中的(x,y)相当于上面的(u,i)
反对角线 y=x+b, 截距 b=y−x，因为我们要把 b 当做数组下标来用，显然 b 不能是负的，所以我们+n（实际上+n+4,+2n都行），来保证是结果是正的，即 y - x + n
而对角线 y=−x+b, 截距是b=y+x，这里截距一定是正的，所以不需要加偏移量
核心目的：找一些合法的下标来表示dg或udg是否被标记过，所以如果你愿意，你取 udg[n + n + i - u] 也可以，只要所有(u,i)对可以映射过去就行

第二种搜索方式

每一个格子地去放置皇后

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 15;
int n;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N], udg[N];

void dfs(int x, int y, int s)//前两个参数表示当前所在棋盘的位置 第三个参数表示当前是第几个皇后
{
    if(y == n)
    {
        y = 0;
        x++;
    }
    
    if(x == n)
    {
        if(s == n)//找到一组解
        {
            for(int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
            puts("");
            //注意不能在这里return
            //如果在这里return 那么假如这里没有找到解 就是说， 我棋盘已经遍历完了 皇后还没摆完 说明这种情况无解 那么就不会return  这样就会内存超限
        }
        return ;
    }
    
    //不放皇后
    dfs(x , y + 1, s);
    
    //放皇后
    if( !row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[n + y -x])
    {
        g[x][y] = 'Q';
        row[x] = col[y] = dg[x +y] = udg[n + y - x] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        g[x][y] = '.';
        row[x] = col[y] = dg[x +y] = udg[n + y - x] = false;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            g[i][j] = '.';
        }
    }
    dfs(0, 0, 0);
    return 0;
}