高中奥数 2021-11-04

2021-11-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P100 例1）

设一条平面闭折线周长为.证明:可以用一个半径为的圆完全盖住这条折线.

证明

如图,令平分折线周长,为线段AB的中点,任取折线上一点,则不超过与之间的折线总长,故.

图1

于是以为圆心、为半径的圆可以盖住这条折线.

2021-11-04-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P100 例2）

设的三边分别为、、,三边上的中线长分别为、、,求证:.

证明

如图,设的三条中线分别为、、,重心为,对四边形应用托勒密不等式可得

图2

.

即,故等等.

三式相加即得

.

2021-11-04-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P100 例3）

设为平行四边形内一点,求证:,并指出等号成立条件.

证明

如图,取点使得,于是原命题等价于,即四边形的托勒密不等式,等号成立的充要条件是为圆内接四边形,即.

图3

2021-11-04-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P101 例4）

(费马点问题)设为内一点,且,为任意一点(不是),求证:

.

如图,过的顶点,,分别引,,的垂线.

证明

图4

设这三条垂线的交点为,,,考虑四边形.

因为,,所以.

同理,,所以为正三角形.

设到三边、、的距离分别为、、,且的边长为,高为图.

由等式知,所以.

这说明正三角形内任一点到三边的距离和等于的高,这是一个定值,所以定值.

显然,到三边距离和,所以.

这就是我们所要证的结论.

由这个结论可知点具有如下性质:它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和,这个点叫费马点.