Leetcode刷题-459：重复的子字符串

1.题目描述

给定一个非空的字符串 s ，检查是否可以通过由它的一个子串重复多次构成。
示例1

输入: s = “abab”
输出: true
解释: 可由子串 “ab” 重复两次构成。

示例2：

输入: s = “aba”
输出: false

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/repeated-substring-pattern

2.题目分析

2.1 暴力枚举

假设有字符串fStr，它是由短字符串sStr重复组成的，而且fStr的长度为N，sStr的长度为n，那么就有以下等式成立。同理如果下面的规律满足则必然是由sStr重复而构成fStr。所以下面的条件是是否是重复子串构成的充要条件。

fStr[i] = fStr[i+n]
N % n == 0

以下图中的以子串"abc"重复构成的字符串为例，子串"abc"长度为3，字符串长度为9，所以有9%3==0，并且在不越界的情况下对于每个str[i]总有str[i]==str[i+3]。所以我们便可以根据这个规律进行枚举解题。

具体解题思路如下，我们首先从小到大假设出所有的可能组成字符串的子串的长度，然后通过上面的规律依次进行条件判断，如果是成立的，那么字符串就是由这个循环子串组成的，否则判断下一个长度的子串，直到长度不能满足构成重复的条件（也就是说子串长度最大为字符串的1/2）。

2.2 使用库函数

既然是判断字符串是否由重复子串组成，那么我们必然可以通过n次循环移位使得字符串又等于它本身，如上面的字符串进行循环移位的状态转移就会是
abcabcabc ---->bcabcabca—>cabcabcabcab—>abcabcabc
我们会发现这个次数n就是字符串的子串的长度。我们当然可以通过这种朴素的移位来进行判断是否满足题设条件，但是我们知道对于string与vector这两种数据结构来说，这样移动元素的开销极大，所以我们要尽可能的减少此类操作。

2.2.1 必要性

接着上面的分析，我们假设母串Str是由子串s重复N次而成， 则 Str+Str则有子串s重复2N次， 那么现在就有： Str=N*s， Str+Str=2N*s， 其中N>=2。 如果条件成立， Str+Str掐头去尾会破坏2个s， Str+Str中还包含2*（N-1）s, 又因为N>=2, 因此 Str在去掉首尾两个元素的(Str+Str)中必会出现一次以上。而且第一次出现必然是位于 Str+Str字符串的前半部分，最后一次出现必然是Str.size()位置开始的最后一个Str。这样我们就说明了必要性。

2.2.2 充分性

假设有一个一般串，我们对其进行上述的拼接，并掐去头部元素，然后我们发现我们寻找s串的时候下标位置在Str+Str的前半部分，有如下的结果，那么我们就可以得出

• s1==s3，s2==s1，所以s1==s3==s3
• Str(前半条)-s2==Str(中间查找到的新Str)-s1,也就是字符串s2+s4==s4+s3,那么我们就可以得出对于字符串Str，必然有字符串s4也必然是0个或者多个s1组成的字符串。这样充分性得以说明。
  

所以，对于字符串Str+Str而言，我们去掉首元素进行查找Str的话，其查找的下标返回值必然会在原本的Str+Str的前半部分。如果是在后半部分也就是下标Str.size()位置，就说明串不是重复的。如下图所示

如果还是不理解可以查看这篇博客再学习一下。

2.3 KMP算法解题

本题其实还是一个字符串匹配的问题。使用KMP算法的话其实有两种思路，一种是采用拼接字符串的方法，类似于后面的2.3部分。还有一种就是直接利用规律公式计算。

• 在Str+Str串掐头去尾之后查找Str，如果可以找到，就说明Str是一个重复子串
• 利用下面介绍的规律公式

下面介绍以下规律公式。如果一个长度为len的字符串是由长度为w重复子串构成的，那么那么我们就可以得出两个规则：

1. len & w ==0
2. w==len-（next[len-1]+1）。下面对这个公式做一个说明；

2.3.1 周期串必是多个重复字串

按照题目要求，我们可以知道一个周期穿必然是由多个重复子串组成的，以下面的这个字符串为例，我们可以得出其next[8]=6，我们可以计算出子串长度为9-（next[8]）=3。这样我们就得出对于一个重复串必然有w=len-（next[len-1]）

2.3.2 w=len-(next[len-1])–>是周期串

根据2.2中的2.2.2，我们可以知道，对于满足条件的字符串，必然有其的字符串长度减去最长相等前后缀长度就是循环的子串的长度。

3.题目解答

3.1 穷举法

bool repeatedSubstringPattern(string s) {
        int len = s.size();
        //枚举子串的长度
        for(int i=1;i<=len/2;i++){
            bool flag = true;
            //可以整除说明满足重复的前提
            if(len % i==0){
                for(int j=i;j<len;j++){
                    //如果是重复子串则必会循环
                    if(s[j]!=s[j-i]){
                     flag = false;
                     break;
                    }
                }
                if(flag) return true;
            }
        }
        return false;
    }

3.2 利用KMP算法解题

class Solution {
public:
    //求next数组
    void getNext(int *next,const string &s){
            next[0]=0;
            int j=0;
            int len = s.size();
            for(int i=1;i<len;i++){
                while(j>0 && s[i]!=s[j]){
                    j=next[j-1];
                }
                if(s[i]==s[j]) j++;
                next[i]=j;
            }
        }
    //将问题转换为一般的求字符串匹配问题
    bool repeatedSubstringPattern(string s) {
        if(s.size()==0) return false;
        int len = s.size();
        int next[len];
        getNext(next,s);
        //
        if(next[len-1]!=0 && len%(len-next[len-1])==0){
            return true;
        }
        return false;

    }
};

3.3 库函数

bool repeatedSubstringPattern(string s) {
        return (s+s).find(s,1)!= s.size();
    }

总结：这绝对不是简单题，方法2、3的充分必要性证明有点难想

参考资料：

1. https://writings.sh/post/algorithm-repeated-string-pattern
2. https://programmercarl.com/
3. https://leetcode-cn.com/problems/repeated-substring-pattern