一欧元滤波器(OneEuroFilter)
引言
在查阅人脸关键点防抖动相关资料时，留意到一篇2012发布的防止抖动滤波器-----一欧元滤波器
链接
论文：
Casiez, G., Roussel, N., & Vogel, D. (2012). 1€ filter: a simple speed-based low-pass filter for noisy input in interactive systems. In Proceedings of the SIGCHI Conference on Human Factors in Computing Systems (pp. 2527–2530). ↩︎
http://www.lifl.fr/~casiez/publications/CHI2012-casiez.pdf
在线Demo：
http://www.lifl.fr/~casiez/1euro/InteractiveDemo/
简介：
https://jaantollander.com/post/noise-filtering-using-one-euro-filter/
1. 介绍
本文探讨了 1€ 滤波器，这是一种用于过滤噪声实时信号的简单但功能强大的算法。文章侧重于算法的实际实现，涵盖了算法的数学基础、伪代码实现和简单、纯 Python 实现。要了解过滤器的工作原理和方式，我们建议阅读原始文章 1。
2. 1€ Filter
1€ 滤波器是用于实时过滤噪声信号的低通滤波器。它也是一个只有两个可配置参数的简单过滤器。时间 T i T_i Ti 处的信号表示为 X i X_i Xi，滤波后的信号表示为值 X ^ i \hat{X}_{i} X^i。滤波器使用指数平滑
X ^ 1 = X 1 X ^ i = α X i + ( 1 − α ) X ^ i − 1 , i ≥ 2 \begin{gathered} \hat{X}_{1}=X_{1} \\ \hat{X}_{i}=\alpha X_{i}+(1-\alpha) \hat{X}_{i-1}, \quad i \geq 2 \end{gathered} X^1=X1X^i=αXi+(1−α)X^i−1,i≥2
其中平滑因子 α ∈ [ 0 , 1 ] \alpha \in[0,1] α∈[0,1] 不是一个常数，而是自适应的，即使用有关信号变化率（速度）的信息动态计算。自适应平滑因子旨在平衡抖动与滞后的权衡，因为人们对低速时的抖动敏感，而对高速时的滞后更敏感。平滑因子定义为：
α = 1 1 + τ T e \alpha=\frac{1}{1+\frac{\tau}{T_{e}}} α=1+Teτ1
其中 T e T_{e} Te 是根据样本之间的时间差计算得出的采样周期
T e = T i − T i − 1 T_{e}=T_{i}-T_{i-1} Te=Ti−Ti−1
τ \tau τ 是使用截止频率计算的时间常数
τ = 1 2 π f C . \tau=\frac{1}{2 \pi f_{C}} . τ=2πfC1.
截止频率 f C f_{C} fC 随着变化率（即速度）的增加而线性增加
f C = f C min + β ∣ X ˙ ^ i ∣ f_{C}=f_{C_{\min }}+\beta\left|\hat{\dot{X}}_{i}\right| fC=fCmin+β∣∣∣X˙^i∣∣∣
其中 f C min > 0 f_{C_{\min }}>0 fCmin>0 是最小截止频率， β > 0 \beta>0 β>0 是速度系数， X ^ i \hat{X}_{i} X^i 是过滤后的变化率。我们定义变化率 X ^ i \hat{X}_{i} X^i 作为信号的离散导数
X ˙ 1 = 0 X ˙ i = X i − X ^ i − 1 T e , i ≥ 2 \begin{gathered} \dot{X}_{1}=0 \\ \dot{X}_{i}=\frac{X_{i}-\hat{X}_{i-1}}{T_{e}}, i \geq 2 \end{gathered} X˙1=0X˙i=TeXi−X^i−1,i≥2
然后使用具有恒定截止频率 f C d f_{C_{d}} fCd 的指数平滑 (1) 对其进行滤波，默认情况下 f C d = 1 f_{C_{d}}=1 fCd=1 。
3. 调整过滤器
模型中有两个可配置参数，最小截止频率 f C min f_{C_{\min }} fCmin 和速度系数 β \beta β。降低最小截止频率会降低慢速抖动。增加速度系数会减少速度滞后。
参考：
https://jaantollander.com/post/noise-filtering-using-one-euro-filter/