概述
编辑距离（Minimum Edit Distance，MED），由俄罗斯科学家 Vladimir Levenshtein 在1965年提出，也因此而得名 Levenshtein Distance。
在信息论、语言学和计算机科学领域，Levenshtein Distance 是用来度量两个序列相似程度的指标。通俗地来讲，编辑距离指的是在两个单词之间，由其中一个单词转换为另一个单词所需要的最少单字符编辑操作次数。
在这里定义的单字符编辑操作有且仅有三种：
- 插入（Insertion）
- 删除（Deletion）
- 替换（Substitution）
譬如，"kitten" 和 "sitting" 这两个单词，由 "kitten" 转换为 "sitting" 需要的最少单字符编辑操作有：
1.kitten → sitten (substitution of "s" for "k")
2.sitten → sittin (substitution of "i" for "e")
3.sittin → sitting (insertion of "g" at the end)
因此，"kitten" 和 "sitting" 这两个单词之间的编辑距离为 3 。
形式化定义
我们将两个字符串 的 Levenshtein Distance 表示为 ，其中 和 分别对应 的长度。那么，在这里两个字符串 的 Levenshtein Distance，即 可用如下的数学语言描述：
定义 指的是 中前 个字符和 中前 个字符之间的距离。为了方便理解，这里的可以看作是的长度。这里的字符串的第一个字符 index 从 1 开始（实际因为在表上运算的时候字符串前需要补 0），因此最后的编辑距离便是 时的距离：
当 的时候，对应着字符串 中前 个字符和 字符串 中前 个字符，此时的 有一个值为 0 ，表示字符串 a 和 b 中有一个为空串，那么从 a 转换到 b 只需要进行次单字符编辑操作即可，所以它们之间的编辑距离为 ，即 中的最大者。
当 的时候， 为如下三种情况的最小值：
1. 表示 删除
2. 表示 插入
3. 表示 替换为一个指示函数，表示当 的时候取 0 ;当 的时候，其值为 1。
过程示例
以 和 为例，建立一个矩阵，通过矩阵记录计算好的距离：
当时，，根据此初始化矩阵的第一行和第一列:
第一行（index = 0）初始化：
min(0, 0) = 0 -> lev_{a, b}(0, 0) = max(0, 0) = 0
min(0, 1) = 0 -> lev_{a, b}(0, 1) = max(0, 1) = 1
min(0, 2) = 0 -> lev_{a, b}(0, 2) = max(0, 2) = 2
min(0, 3) = 0 -> lev_{a, b}(0, 3) = max(0, 3) = 3
第一列（index = 0）初始化：
min(0, 0) = 0 -> lev_{a, b}(0, 0) = max(0, 0) = 0
min(1, 0) = 0 -> lev_{a, b}(1, 0) = max(1, 0) = 1
min(2, 0) = 0 -> lev_{a, b}(2, 0) = max(2, 0) = 2
min(3, 0) = 0 -> lev_{a, b}(3, 0) = max(3, 0) = 3
依据上面的公式可以继续推导出第二行：
第二行（index = 1）推导
继续迭代，第三行（index = 2）推导
直至推导出最终结果：
算法实现
1 递归方式
def Levenshtein_Distance_Recursive(str1, str2):
if len(str1) == 0:
return len(str2)
elif len(str2) == 0:
return len(str1)
elif str1 == str2:
return 0
if str1[len(str1)-1] == str2[len(str2)-1]:
d = 0
else:
d = 1
return min(Levenshtein_Distance_Recursive(str1, str2[:-1]) + 1,
Levenshtein_Distance_Recursive(str1[:-1], str2) + 1,
Levenshtein_Distance_Recursive(str1[:-1], str2[:-1]) + d)
print(Levenshtein_Distance_Recursive("abc", "bd"))
>>>
2
2 动态规划
递归是从后向前分解，那与之相对的就是从前向后计算，逐渐推导出最终结果，此法被称之为动态规划，动态规划很适用于具有重叠计算性质的问题，但这个过程中会存储大量的中间计算的结果，一个好的动态规划算法会尽量减少空间复杂度。
def Levenshtein_Distance(str1, str2):
"""
计算字符串 str1 和 str2 的编辑距离
:param str1
:param str2
:return:
"""
matrix = [[ i + j for j in range(len(str2) + 1)] for i in range(len(str1) + 1)]
for i in range(1, len(str1)+1):
for j in range(1, len(str2)+1):
if(str1[i-1] == str2[j-1]):
d = 0
else:
d = 1
matrix[i][j] = min(matrix[i-1][j]+1, matrix[i][j-1]+1, matrix[i-1][j-1]+d)
return matrix[len(str1)][len(str2)]
print(Levenshtein_Distance("abc", "bd"))
>>>
2
应用与思考
编辑距离是NLP基本的度量文本相似度的算法，可以作为文本相似任务的重要特征之一，其可应用于诸如拼写检查、论文查重、基因序列分析等多个方面。但是其缺点也很明显，算法基于文本自身的结构去计算，并没有办法获取到语义层面的信息。
由于需要利用矩阵，故空间复杂度为O(MN)。这个在两个字符串都比较短小的情况下，能获得不错的性能。不过，如果字符串比较长的情况下，就需要极大的空间存放矩阵。例如：两个字符串都是20000字符，则 LD 矩阵的大小为：20000 * 20000 * 2=800000000 Byte=800MB。
参考文献
[1] https://blog.csdn.net/ghsau/article/details/78903076
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance
[3] https://www.dreamxu.com/books/dsa/dp/edit-distance.html
[4] https://www.jianshu.com/p/a96095aa92bc