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张量分解--CP、Tucker分解

符号和准备工作

张量

实例

Fiber

Slice

norm

张量内积

（超）对称与（超）对角

秩一张量

对角张量

张量的矩阵化与向量化

Kolda水平展开

具体例子

mode-n product

矩阵的Kronecker乘积-（张量积）

矩阵的Khatri-Rao乘积

矩阵的Hadamard乘积

CP分解

张量CP分解的定义

向量的内积与外积

CP秩

张量CP分解的理解

Tucker分解

线性变化改变向量维度例子

这两种张量分解算法可以被看做是张量奇异值分解的高阶扩展：CP分解将张量分解为秩一张量之和，Tucker分解是主成成分分析（PCA）的高阶形式。

符号和准备工作

张量

张量可以理解为高阶矩阵。

实例

在网络测量领域，如果我们想要测量 n 个网络设备之间的延迟，那么，很自然地，在具体的某一时刻，我们会将这 n 个网络设备两两之间通信的延迟表示为一个 n×n 矩阵。接下来，如果我们收集了许多不同时刻的数据，比方说 n3 个时刻，我们将这些数据排列起来，这样就构成了一个 n×n×n3 张量，如下图所示

Fiber

Fiber在张量分解中指的是张量的一维切片。在三维张量中，Fiber可以是沿着某一特定方向的线段，类似于矩阵的行或列。它是张量结构的一个重要组成部分。

Slice

在张量分解中，"slice"指的是张量的二维切片。对于三维张量，一个slice可以看作是沿着特定方向的一个平面切片，就像三维立方体的一面。每个slice都是一个矩阵，张量可以看作是这些矩阵的堆叠。

正面切片也就对应这上文提到的网络延迟的样子。

我们可以对比一下Fiber以及切片的符号表示，可以看出来，Fiber是固定三阶张量的两个维度，切片是固定三阶张量的一个维度。如果扩展到更 n 阶的张量，那么Fiber是固定张量的 n−1 个维度，切片是固定张量的 n−2 个维度

norm

norm"是一个数学术语，用于衡量向量或矩阵的大小。对于向量，norm通常表示向量的长度，对于矩阵，norm可以表示矩阵的某种“大小”或“长度”。

常见的norm包括：

L1范数：向量元素的绝对值之和。
L2范数：向量元素的平方和的平方根，也称为欧几里得范数。
无穷范数：向量元素的最大绝对值。
Frobenius范数：矩阵元素的平方和的平方根。

假设现在有张量 $\chi \in R^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots I_{N}}$ ，张量的范数定义为张量的各个元素 $\chi _{ijk}$ 的平方和开根号，用公式表示如下：

$\|\boldsymbol{X}\|=\sqrt{\sum_{i_{1}=1}^{I_{1}} \sum_{i_{2}=1}^{I_{2}} \cdots \sum_{i_{N}}^{I_{N}} x_{i_{1} i_{2} \cdots i_{N}}^{2}}$

张量内积

向量的内积就是两个向量对应元素乘积之和，结果是个标量，两个向量外积结果是一个矩阵，三个向量外积是一个三阶张量。

此处张量内积的定义和向量内积是类似的，即张量对应元素乘积之和：

$\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\sum_{i_{1}=1}^{I_{1}} \sum_{i_{2}=1}^{I_{2}} \cdots \sum_{i_{N}=1}^{I_{N}} x_{i_{1} i_{2} \cdots i_{N}} y_{i_{1} i_{2} \cdots i_{N}}$

（超）对称与（超）对角

立方张量：各个mode的长度相等

对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果 $x_{i j k}=x_{i k j}=x_{j i k}=x_{j k i}=x_{k i j}=x_{k j i}, \forall i, j, k$

对角：仅当 $i_{1}=i_{2}=\cdots=i_{N} \quad x_{i_{1} i_{2} \cdots i_{N}} \neq 0$ 时，

秩一张量

秩一张量的定义是：如果一个张量可以被表示为一组向量的外积，那么这个张量就被称为秩一张量。具体来说，如果张量 $\mathcal{A} \in R^{n_{1} \times \ldots \times n_{d}}$ 可以被写成个向量的外积，即 $\mathcal{A} = \mathbf{v}_{1} \otimes \mathbf{v}_{2} \otimes \ldots \otimes \mathbf{v}_{d}$ ，那么我们就说张量 $\mathcal{A}$ 是秩一的。这里的 $\otimes$ 表示外积运算。

回顾一下SVD分解

一个矩阵可以分解为左右奇异向量矩阵以及一个奇异值矩阵的乘积形式。我们现在不妨以另外一种角度来看待矩阵的SVD分解：

我们如果拿出第一个左奇异向量以及第一个右奇异向量，这两个向量做外积，我们就可以得到一个矩阵，同时这两个奇异向量对应同一个奇异值，我们尝试将奇异值理解为这两个向量外积得到的这个矩阵的在原始矩阵中所占的权重，以此类推我们就可以得到所有奇异值对应的左右奇异向量外积的结果矩阵，然后将这些矩阵加起来就得到了原始矩阵。

矩阵SVD分解就是将矩阵分解为许多因子矩阵之和

1.奇异值分解（SVD）: 给定一个矩阵，SVD分解将其分解为三个部分：左奇异向量（U）、奇异值对角矩阵（Σ）和右奇异向量的转置。数学上表示为：
$M = U \cdot \Sigma \cdot V^T$

2. 左右奇异向量的外积: 左奇异向量和右奇异向量可以看作矩阵空间的一组基。外积所得的矩阵可以看作这些基的线性组合。

3. 带有权重的因子矩阵: 奇异值对角矩阵Σ包含了矩阵的奇异值，这些值可以看作权重。将权重与左右奇异向量的外积相乘，得到的就是所谓的因子矩阵。

4. 因子矩阵之和: 将所有的因子矩阵相加，就可以重构原始矩阵。这就是说，原始矩阵可以看作许多因子矩阵之和。

矩阵做SVD分解以后，奇异值矩阵中第一个奇异值为1，剩下的奇异值都为0。因此，奇异值为1对应的左右奇异向量的外积所得到的矩阵就是原始矩阵。

对角张量

张量的矩阵化与向量化

在张量的分析与计算中，经常希望用一个矩阵代表一个三阶张量。此时，就需要有一种运算，能够将一个三阶张量（三路阵列）经过重新组织或者排列，变成一个矩阵（二路阵列）。将一个三路或N路阵列重新组织成一个矩阵形式的变换称为张量的矩阵化。张量的矩阵化有时也称张量的展开或张量的扁平化。

将N阶张量 $\mathcal{X}$ 沿mode-n展开成一个矩阵 $\mathbf{X}_{(n)}$
除了高阶张量的唯一矩阵表示外，一个高阶张量的唯一向量表示也是很多场合感兴趣的。高阶向量的向量化是一种将张量排列成唯一一个向量的变换。

在张量的矩阵化过程中，首先可以分为水平展开与纵向展开，然后可以进一步细分为Kiers展开、LMV展开、Kolda展开。在此，我们仅介绍Kolda水平展开。

Kolda水平展开

Kolda于2006年提出该方法，将阶张量元素 $a_{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{N}}$ 映射为模式-n矩阵 $A_{(n)}$ 的元素 $a_{i_{n}, j}^{I_{n} \times I_{1} \cdots I_{n-1} I_{n+1} \cdots I_{N}}$ ，其中

$j=1+\sum_{\substack{k=1 \\ k \neq n}}^{N}\left(i_{k}-1\right) J_{k} \quad$ with $\quad J_{k}=\prod_{\substack{m=1 \\ \text { c. }}}^{k-1} I_{m}$

具体例子

$\mathbf{X}_{1}=\left[\begin{array}{llll}1 & 4 & 7 & 10 \\ 2 & 5 & 8 & 11 \\ 3 & 6 & 9 & 12\end{array}\right], \quad \mathbf{X}_{2}=\left[\begin{array}{llll}13 & 16 & 19 & 22 \\ 14 & 17 & 20 & 23 \\ 15 & 18 & 21 & 24\end{array}\right]$

$X_{1}$ 、 $X_{2}$ 代表张量 $\chi$ 的两个正面切片矩阵。该张量的模式-n展开如下所示:

$\begin{array}{c}\mathbf{X}_{(1)}=\left[\begin{array}{llllllll}1 & 4 & 7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 \\ 2 & 5 & 8 & 11 & 14 & 17 & 20 & 23 \\ 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 & 24\end{array}\right] \\ \mathbf{X}_{(2)}=\left[\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & 13 & 14 & 15 \\ 4 & 5 & 6 & 16 & 17 & 18 \\ 7 & 8 & 9 & 19 & 20 & 21 \\ 10 & 11 & 12 & 22 & 23 & 24\end{array}\right] \\ \mathbf{X}_{(3)}=\left[\begin{array}{cccccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & \cdots & 21 & 22 & 23\end{array}\right]\end{array}$
对于该张量的向量化形式，因为很好理解，因此直接给出该例的向量化结果:

$\operatorname{vec}(\boldsymbol{X})=\left[\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ \vdots \\ 24\end{array}\right]$

mode-n product

mode-n product（模式n乘积）是张量与矩阵之间的一种特殊乘积操作。给定一个张量和一个矩阵，mode-n product表示在张量的第n个模式（或维度）上与矩阵相乘。

数学上，mode-n product可以表示为：

$(A \times_n U)_{i_1, \ldots, i_{n-1}, j, i_{n+1}, \ldots, i_d} = \sum_{i_n} A_{i_1, \ldots, i_d} \cdot U_{j, i_n}$

其中 $A \times_n U$ 是新的张量，是原始张量，是与张量的第n个模式相乘的矩阵。

这个定义可以写成沿mode-n展开的形式

$\mathcal{Y}=\mathcal{X} \times_{n} \mathbf{U} \Leftrightarrow \mathbf{Y}_{(n)}=\mathbf{U} \mathbf{X}_{(n)}$
性质:
$\begin{array}{l} \mathcal{X}_{\times_{m}} \mathbf{A} \times_{n} \mathbf{B}=\mathcal{X}_{\times_{n} \mathbf{B} \times{ }_{m} \mathbf{A}, m \neq n} \\ \mathcal{X}_{\times_{n}} \mathbf{A} \times_{n} \mathbf{B}=\mathcal{X}_{\times_{n}}(\mathbf{B A}) \end{array}$

一个张量 $\mathrm{X} \in \mathbb{R}^{I_{1} \times I_{2} \times \cdots \times I_{N}}$ 和一个向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{I_{n}}$ 的 $\mathbf{n - m o d e}$ 乘积

$\left(X \bar{x}_{n} \mathbf{v}\right) \in \mathbb{R}^{I_{1} \times \cdots \times I_{n-1} \times I_{n+1} \times \cdots \times I_{N}}$ ,

其元素定义为 $\left(\mathrm{X} \bar{x}_{n} \mathbf{v}\right)_{i_{1} \cdots i_{n-1} i_{n+1} \cdots i_{N}}=\sum_{i_{n}=1}^{I_{n}} x_{i_{1} i_{2} \cdots i_{N}} v_{i_{n}}$

性质: $\mathrm{X} \overline{\mathrm{x}}_{m} \mathbf{a} \overline{\mathrm{x}}_{n} \mathbf{b}=\left(\mathrm{X} \overline{\mathrm{x}}_{m} \mathbf{a}\right) \overline{\mathrm{x}}_{n-1} \mathbf{b}=\left(\mathrm{X} \overline{\mathrm{x}}_{n} \mathbf{b}\right) \overline{\mathrm{x}}_{m} \mathbf{a}, m<n$

假设有一个三维张量，可以想象成一个立方体，由许多小立方体组成。每个方向（长度、宽度、高度）都是一个模式。

现在，你想在其中一个方向（例如高度）上与一个矩阵相乘。你可以将立方体切成许多层（每一层都是一个矩阵），然后用给定的矩阵与每一层相乘。

如果你在第一个模式（长度方向）上乘以矩阵，就像将每一行压缩或拉伸。
如果在第二个模式（宽度方向）上乘以矩阵，就像将每一列压缩或拉伸。
如果在第三个模式（高度方向）上乘以矩阵，就像将每一层压缩或拉伸。

这个操作改变了张量的形状，并且可以用于提取信息、降维或其他数学任务。

考虑三阶张量与矩阵的乘积，由于该方法是Tucker定义的，现在常称为Tucker积。

三阶张量的Tucker积: 考虑三阶张量 $\chi \in K^{I_{1} \times I_{2} \times I_{3}}$ 和矩阵 $A \in K^{J_{1} \times I_{1}}$ ， $B \in K^{J_{2} \times I_{2}}$ ， $C \in K^{J_{3} \times I_{3}}$ 的乘积。三阶张量的Tucker模式-1积 $\chi \times_{1} A$ ，模式-2积 $\chi \times_{2} B$ ，模式-3积 $\chi \times{ }_{3} C$ 分别定义为:

$\left(\mathcal{X} \times{ }_{1} A\right)_{j_{1} i_{2} i_{3}}=\sum_{i_{1}=1}^{I_{1}} x_{i_{1} i_{2} i_{3}} a_{j_{1} i_{1}}, \forall j_{1}, i_{2}, i_{3} \\ \left(\mathcal{X} \times{ }_{2} B\right)_{i_{1} j_{2} i_{3}}=\sum_{i_{2}=1}^{I_{2}} x_{i_{1} i_{2} i_{3}} b_{j_{2} i_{2}}, \forall i_{1}, j_{2}, i_{3} \\ \left(\mathcal{X} \times{ }_{3} C\right)_{i_{1} i_{2} j_{3}}=\sum_{i_{3}=1}^{I_{3}} x_{i_{1} i_{2} i_{3}} c_{j_{3} i_{3}}, \forall i_{1}, i_{2}, j_{3} \\$

我们先将 $\chi$ 进行模式-1展开，所得矩阵的维度为 $I_{1} \times I_{2} I_{3}$ 。
我们将张量展开成了一个矩阵，那么模式-n乘积也就变成了两个矩阵相乘，这个大家肯定都不陌生。这两个矩阵的维度分别是 $I_{1} \times I_{2} I_{3}$ 以及 $A \in J_{1} \times I_{1}$ ，因此，很明显的一点是，如果按照原来的顺序，这两个矩阵是无法直接相乘的，因此我们需要把放到张量展开矩阵的左边。所得结果是一个 $J_{1} \times I_{2} I_{3}$ 的矩阵，注意，此处我们还需要将这个矩阵还原成张量，所以最终的结果是一个 $J_{1} \times I_{2} \times I_{3}$ 的张量。

矩阵的Kronecker乘积-（张量积）

$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{I \times J}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{K \times L}$ , 则

$\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} \mathbf{B} & a_{12} \mathbf{B} & \cdots & a_{1 J} \mathbf{B} \\ a_{21} \mathbf{B} & a_{22} \mathbf{B} & \cdots & a_{2 J} \mathbf{B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{I 1} \mathbf{B} & a_{I 2} \mathbf{B} & \cdots & a_{I J} \mathbf{B} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{I K \times J L}$

性质: $(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D})=(\mathbf{A C}) \otimes(\mathbf{B D}) \\ (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{+}=\mathbf{A}^{+} \otimes \mathbf{B}^{+}$

矩阵的 Kronecker 积还和张量和矩阵的 n-mode 乘积有如下关系：

$\begin{array}{l}\mathrm{Y}=\mathrm{X} \times{ }_{1} \mathbf{A}^{(1)} \cdots \times_{N} \mathbf{A}^{(N)} \Leftrightarrow \\ \mathbf{Y}_{(n)}=\mathbf{A}^{(n)} \mathbf{X}_{(n)}\left(\mathbf{A}^{(N)} \otimes \cdots \otimes \mathbf{A}^{(n+1)} \otimes \mathbf{A}^{(n-1)} \otimes \cdots \otimes \mathbf{A}^{(1)}\right)^{\mathrm{T}}\end{array}$

矩阵的Khatri-Rao乘积

$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{I \times K}{ }_{r} \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{J \times K}$ , 则
$\mathbf{A} \odot \mathbf{B}=\left[\begin{array}{llll}\mathbf{a}_{1} \otimes \mathbf{b}_{1} & \mathbf{a}_{2} \otimes \mathbf{b}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{K} \otimes \mathbf{b}_{K}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{I J \times K}$
性质： $\mathbf{A} \odot \mathbf{B} \odot \mathbf{C}=(\mathbf{A} \odot \mathbf{B}) \odot \mathbf{C}=\mathbf{A} \odot(\mathbf{B} \odot \mathbf{C})$

矩阵的Hadamard乘积

$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{I \times J}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{I \times J},$ 则

$\mathbf{A} * \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \cdots & a_{1 J} b_{1 J} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \cdots & a_{2 J} b_{2 J} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{I 1} b_{I 1} & a_{I 2} b_{I 2} & \cdots & a_{I J} b_{I J}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{I \times J}$

性质： $\begin{array}{l}(\mathbf{A} \odot \mathbf{B})^{\mathrm{T}}(\mathbf{A} \odot \mathbf{B})=\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}\right) *\left(\mathbf{B}^{\mathrm{T}} \mathbf{B}\right) \\ (\mathbf{A} \odot \mathbf{B})^{+}=\left(\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}\right) *\left(\mathbf{B}^{\mathrm{T}} \mathbf{B}\right)\right)^{+}(\mathbf{A} \odot \mathbf{B})^{\mathrm{T}}\end{array}$

CP分解

CP分解是将张量分解为一系列的秩一张量之和。

张量CP分解的定义

对于一个 $\chi \in R^{I \times J \times K}$ ，其CP分解公式如下:

$\boldsymbol{X} \approx \sum_{r=1}^{R} \mathbf{a}_{r} \circ \mathbf{b}_{r} \circ \mathbf{c}_{r}$
注意 $a_{r}, b_{r}, c_{r}$ 的维度分别是 $a_{r} \in R^{I}, b_{r} \in R^{J}, c_{r} \in R^{K}$ ，就是我们所说的 CP秩。更直观的理解看下图:

向量的内积与外积

若向量 $a \in R^{n_{1}}, b \in R^{n_{2}}$ ，则两个向量的外积
$\left(a \circ b=a b^{T}\right)_{n_{1} \times n_{2}}$
生成一个矩阵。其中符号 “。”表示外积运算。因此两个向量的外积运算从一维向量变为二维矩阵，增加了一个维度
举例说明，若
$x=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right]$ ,

                                                         $y=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$
则
                                                 $x \circ y=x y^{T}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$
若向量 $a \in R^{n_{1}}, b \in R^{n_{2}}, c \in R^{n_{3}}$ ，则三个向量的外积
                                                 $a \circ b \circ c=\left(c *\left(a b^{T}\right)\right)_{n_{1} \times n_{2} \times n_{3}}$
是一个三阶张量。这里的 “ ” 运算为中第一个元素与矩阵 $\left(a b^{T}\right)_{n_{1} \times n_{2}}$ 相乘生成张量的第一个frontal slice，其中最后一个元素与矩阵 $\left(a b^{T}\right)_{n_{1} \times n_{2}}$ 相乘生成张量的最后一个frontal slice。三个向量的外积的 3 维的张量，因此每做一次外积运算维度都增加1。

CP秩

对于一个给定的张量，其CP秩是能够精确表示该张量的最小秩一张量的数量。

张量CP分解的理解

$\chi_{111}$ 元素就是张量左上角的元素，我们知道，这个元素一定是各个因子张量左上角的元素之和组成的。我们不妨来考虑一下上图的第一个因子张量。
在此之前，我们先定义一些新的符号，在上图中 $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ 代表三个向量，现在定义 $a_{1 i}, b_{1 j}, c_{1 k}$ 代表这三个向量中不同位置的标量值。为了书写方便，我们将第一个下标1去掉，现在就变成了 $a_{i}, b_{j}, c_{k}$ 。假设，那么 $a \circ b \circ c$ 如下图所示:

$\begin{array}{l} a=\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right] \quad b=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right] \quad c=\left[\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array}\right] \\ a \circ b=\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{lll} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} \end{array}\right] \\ \end{array}$

$a \circ b \circ c$ 为一个张量

设张量的第一个正面切片为：

$\left[\begin{array}{lll}a_{1} b_{1} c_{1} & a_{1} b_{2} c_{1} & a_{1} b_{3} c_{1} \\ a_{2} b_{1} c_{1} & a_{2} b_{2} c_{1} & a_{2} b_{3} c_{1} \\ a_{3} b_{1} c_{1} & a_{3} b_{2} c_{1} & a_{3} b_{3} c_{1}\end{array}\right]$

张量的第二个正面切片为：

$\left[\begin{array}{ccc}a_{1} b_{1} c_{2} & a_{1} b_{2} c_{2} & a_{1} b_{3} c_{2} \\ a_{2} b_{1} c_{2} & a_{2} b_{2} c_{2} & a_{2} b_{3} c_{2} \\ a_{3} b_{1} c_{2} & a_{3} b_{2} c_{2} & a_{3} b_{3} c_{2}\end{array}\right]$

张量的第三个正面切片为：
$\left[\begin{array}{lll}a_{1} b_{1} c_{3} & a_{1} b_{2} c_{3} & a_{1} b_{3} c_{3} \\ a_{2} b_{1} c_{3} & a_{2} b_{2} c_{3} & a_{2} b_{3} c_{3} \\ a_{3} b_{1} c_{3} & a_{3} b_{2}c_{3}&a_{3}b_{3}c_{3} \end{array}\right]$

也就是说，第一个因子张量的左上角位置元素为 $a_{11} b_{11} c_{11}$ ，第二个因子张量左上角位置元素为 $a_{21} b_{21} c_{21}$ ，以此类推，我们就可以知道 $\chi_{111}=\sum_{R}^{r} a_{r 1} b_{r 1} c_{r 1}$ ，张量 $\chi$ 其他位置的元素也可以用同样的方法推导。

$x_{i j k} \approx \sum_{r=1}^{R} a_{i r} b_{j r} c_{k r} \text { for } i=1, \ldots, I, j=1, \ldots, J, k=1, \ldots, K$

我们将CP分解中最小的单元看作了不同的向量，向量的外积组成了不同的张量，因子张量之和就是原始张量。

Tucker分解

通常我们认为，CP分解是张量Tucker分解的一种特殊情况。

Tucker分解是一种高阶的主成分分析，它将一个张量表示成一个核心（core）张量沿每一个mode乘上一个矩阵。

通俗来讲，PCA的目的就是用 k 个主分量概括表达统计相关的 n 个特征，因此PCA算法是一种降维方法。那么，我们之前说Tucker分解是PCA的高阶形式，我们应该也可以尝试用这种降维的思想去理解Tucker分解。

首先，我们需要确立一种思维，我们知道一个矩阵可以理解为一种线性变换，那么对于 $A \times B$ ，我们可以理解为在矩阵上施加一种线性变换，如果同时考虑矩阵维数变化的话， $A \in R^{I_{1} \times I_{2}}, B \in R^{I_{2} \times I_{3}}$ ，那么 $(A \times B) \in R^{I_{1} \times I_{3}}$ ，我们尝试这样去理解: $A \times B$ 相当于沿着矩阵的第二个维度施加了线性变化，使得第二个维度由 $I_{2}$ 变成了 $I_{3}$ 。

线性变化改变向量维度例子

线性变换 $T: V \rightarrow W$ 可以将一个 -维向量空间映射到一个 -维向量空间。

这种类型的线性变换通常用 $m \times n$ 矩阵来表示。给定一个-维向量 $\mathbf{x}$ ，应用线性变换后，我们得到一个 -维向量 $\mathbf{y}$ ，即：

$\mathbf{y} = A\mathbf{x}$

例如，考虑以下 $3 \times 2$ 矩阵：

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$

这个矩阵可以将一个 2-维向量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 映射到一个 3-维向量 $\mathbf{y}$ ，即：

$\mathbf{y} = A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 \\ 5x_1 + 6x_2 \end{bmatrix}$

这样，我们就通过线性变换将一个 2-维向量映射到了一个 3-维向量。

我们现在来考虑 $\chi \times_{1} A$ ，其中张量 $\chi \in R^{I_{1} \times I_{2} \times I_{3}}$ ，矩阵 $A \in R^{J_{1} \times I_{1}}$ ，我们知道这个模式- 1 积的结果是一个 $J_{1} \times I_{2} \times I_{3}$ 的张量，那么我们不妨认为模式-1积是沿着张量 $\chi$ 的第一个维度施加了线性变换，使得第一个维度从 $I_{1}$ 变化到了 $J_{1}$ 。如果 $J_{1}<I_{1}$ 的话，就相当于沿着张量的第一维度进行了一种降维操作。

现在，我们给出Tucker分解的定义，对于张量 $\chi \in R^{I \times J \times K}$ ，其Tucker分解形式如下:
$\boldsymbol{X} \approx \mathcal{G} \times{ }_{1} \mathbf{A} \times{ }_{2} \mathbf{B} \times{ }_{3} \mathbf{C}=\sum_{p=1}^{P} \sum_{q=1}^{Q} \sum_{r=1}^{R} g_{p q r} \mathbf{a}_{p} \circ \mathbf{b}_{q} \circ \mathbf{c}= [[\mathcal{G} ;A,B,C]]$
其中， $A \in R^{I \times P}, B \in R^{J \times Q}, C \in R^{K \times R}$ 是Tucker分解得到的因子矩阵，
$\mathcal{G} \in \mathbb{R}^{P \times Q \times R}$

代表核心张量，它的元素代表不同因子矩阵之间相互作用的水平。Tucker分解示意图如下：

参考链接

http://深入理解 | CP、Tucker分解 - 达布牛学习笔记的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/302453223

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文章目录zsh基础配置实用特性插件`autojump`语法高亮自动补全fish优点缺点时效性本篇撰写时间为2021.12.15，由于计算机技术日新月异，博客中所有内容都有时效和版本限制，具体做法不一定总行得通，链接可能改动失效，各种软件的用法可能有修改。但是其中透露的思想往往是值得学习的。本篇前置：ExpRe[10]Ubuntu[2]准备神秘软件、备份恢复软件https://www.cnblogs
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importnumpyasnp1.模型实现"""inputrate_matrix:M行N列的评分矩阵，值为P*Q.P:初始化用户特征矩阵M*K.Q:初始化物品特征矩阵K*N.latent_feature_cnt:隐特征的向量个数max_iteration:最大迭代次数alpha:步长lamda:正则化系数output分解之后的P和Q"""defLFM_grad_desc(rate_matrix,l
(179)时序收敛---＞(29)时序收敛二九 FPGA系统设计指南针 FPGA系统设计(内训)fpga开发时序收敛
1目录（a）FPGA简介（b）Verilog简介（c）时钟简介（d）时序收敛二九（e）结束1FPGA简介（a）FPGA（FieldProgrammableGateArray）是在PAL（可编程阵列逻辑）、GAL（通用阵列逻辑）等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路（ASIC）领域中的一种半定制电路而出现的，既解决了定制电路的不足，又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。（b）
(180)时序收敛---＞(30)时序收敛三十 FPGA系统设计指南针 FPGA系统设计(内训)fpga开发时序收敛
1目录（a）FPGA简介（b）Verilog简介（c）时钟简介（d）时序收敛三十（e）结束1FPGA简介（a）FPGA（FieldProgrammableGateArray）是在PAL（可编程阵列逻辑）、GAL（通用阵列逻辑）等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路（ASIC）领域中的一种半定制电路而出现的，既解决了定制电路的不足，又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。（b）
(158)时序收敛---＞(08)时序收敛八 FPGA系统设计指南针 FPGA系统设计(内训)fpga开发时序收敛
1目录（a）FPGA简介（b）Verilog简介（c）时钟简介（d）时序收敛八（e）结束1FPGA简介（a）FPGA（FieldProgrammableGateArray）是在PAL（可编程阵列逻辑）、GAL（通用阵列逻辑）等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路（ASIC）领域中的一种半定制电路而出现的，既解决了定制电路的不足，又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。（b）F
(159)时序收敛---＞(09)时序收敛九 FPGA系统设计指南针 FPGA系统设计(内训)fpga开发时序收敛
1目录（a）FPGA简介（b）Verilog简介（c）时钟简介（d）时序收敛九（e）结束1FPGA简介（a）FPGA（FieldProgrammableGateArray）是在PAL（可编程阵列逻辑）、GAL（通用阵列逻辑）等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路（ASIC）领域中的一种半定制电路而出现的，既解决了定制电路的不足，又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。（b）F
(160)时序收敛---＞(10)时序收敛十 FPGA系统设计指南针 FPGA系统设计(内训)fpga开发时序收敛
1目录（a）FPGA简介（b）Verilog简介（c）时钟简介（d）时序收敛十（e）结束1FPGA简介（a）FPGA（FieldProgrammableGateArray）是在PAL（可编程阵列逻辑）、GAL（通用阵列逻辑）等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路（ASIC）领域中的一种半定制电路而出现的，既解决了定制电路的不足，又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。（b）F
(153)时序收敛---＞(03)时序收敛三 FPGA系统设计指南针 FPGA系统设计(内训)fpga开发时序收敛
1目录（a）FPGA简介（b）Verilog简介（c）时钟简介（d）时序收敛三（e）结束1FPGA简介（a）FPGA（FieldProgrammableGateArray）是在PAL（可编程阵列逻辑）、GAL（通用阵列逻辑）等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路（ASIC）领域中的一种半定制电路而出现的，既解决了定制电路的不足，又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。（b）F
(182)时序收敛---＞(32)时序收敛三二 FPGA系统设计指南针 FPGA系统设计(内训)fpga开发时序收敛
1目录（a）FPGA简介（b）Verilog简介（c）时钟简介（d）时序收敛三二（e）结束1FPGA简介（a）FPGA（FieldProgrammableGateArray）是在PAL（可编程阵列逻辑）、GAL（通用阵列逻辑）等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路（ASIC）领域中的一种半定制电路而出现的，既解决了定制电路的不足，又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。（b）
5分钟说透AppStore审核原理，让你拥有上架新思路！ Q仔本人噢
在AppStore上架是越来越难了!相信非常多公司的技术人员都为此困扰，然而外包团队水平又层次不齐，容易遇坑，实在是内忧外患。是什么原因导致审核机制频繁调整？又是什么原因使得审核变得越发严格？那么接下来听小Q分解，马上给各位带来解答!首先看一下近一年的上下架的情况：近一年上架情况近一年下架情况通过数据我们发现越是马甲包产量权重高的分类里被下架的app数量越多，苹果此举可谓是上有政策，下有对策。通过
【树一线性代数】005入门 Owlet_woodBird 算法
Index本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376分析实现总结本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376已知非空二叉树T的结点值均为正整数，采用顺序存储方式保存，数据结构定义如下:t
音视频知识图谱 2022.04 关键帧Keyframe
前些时间，我在知识星球上创建了一个音视频技术社群：关键帧的音视频开发圈，在这里群友们会一起做一些打卡任务。比如：周期性地整理音视频相关的面试题，汇集一份音视频面试题集锦，你可以看看《音视频面试题集锦2022.04》。再比如：循序渐进地归纳总结音视频技术知识，绘制一幅音视频知识图谱。下面是2022.04月知识图谱新增的内容节选：1）图谱路径：**采集/音频采集/声音三要素/响度******主观计量响
从单体到微服务：FastAPI ‘挂载’子应用程序的转变黑金IT fastapi 微服务 fastapi 架构
在现代Web应用开发中，模块化架构是一种常见的设计模式，它有助于将大型应用程序分解为更小、更易于管理的部分。FastAPI，作为一个高性能的PythonWeb框架，提供了强大的支持来实现这种模块化设计。通过“挂载”子应用程序，我们可以为不同的功能区域（如前端接口、管理员接口和用户中心）创建独立的应用程序，并将它们整合到一个主应用程序中。本文将详细介绍如何在FastAPI中使用“挂载”子应用程序的方
Fork/Join框架与ForkJoinPool 浪白条
1.Fork/Join框架fork操作的作用是把一个大的问题划分成若干个较小的问题。在这个划分过程一般是递归进行的。直到可以直接进行计算。需要恰当地选取子问题的大小。太大的子问题不利于通过并行方式来提高性能，而太小的子问题则会带来较大的额外开销。每个子问题计算完成后，可以得到关于整个问题的部分解。join操作的作用是把这些分解手机组织起来，得到完整解。简单的说，ForkJoin其核心思想就是分治。
2022-04-04 N4一念
佛家讲世间出世间打成一片，世间即出世间，只是重点在出世间，但也不能离开世间而出世间。道家也是如此，虽然这种词语并不多。老子说:“控其锐，解其纷，和其光，同其尘'。这四句句法相同，但并不好讲。“其”指道，即道心。分解地讲道心当然代表光明，但将光明孤悬，或在深山中修道，这境界也并不很高。“和其光”的意思是把光明浑化柔和一下，就是要人勿露锋芒。“挫其锐”也是勿露锋利的意思。因此，人喜言“韬光养晦”，要人
【编译原理】方舟编译技术课程 — 词法分析 CSU_THU_SUT 编译原理编译器编译原理 llvm
打开目录阅读更佳参考视频：方舟·编译技术入门与实战以及西交冯博琴老师的相关视频编译的过程包括词法分析（分析程序符号）、语法分析（分析语法单位）、中间代码生成、代码优化和目标代码生成。一、编译过程各部分的任务（1）词法分析：输入源程序，扫描分解源程序字符串，识别五类符号，包括定义符、标识符、运算符、界符和常数，转为单词符号。（2）语法分析：在词法分析基础上，将单词符号转为语法单位（如短句、子句、句子
Xilinx 7系列FPGA架构之器件配置（二） FPGA技术实战 FPGA器件架构 Xinx FPGA硬件设计 fpga开发
引言：本文我们介绍下7系列FPGA的配置接口，在进行硬件电路图设计时，这也是我们非常关心的内容，本文主要介绍配置模式的选择、配置管脚定义以及如何选择CFGBVS管脚电压及Bank14/15电压。1.概述Xilinx®7系列设备有五个配置接口。每个配置接口对应一个或多个配置模式和总线宽度，如表1所示。有关接口详细的时序信息，可以参阅相应的7系列FPGA数据手册。配置时序主要与FPGA配置时钟管脚CC
VITS 源码解析2-模型概述迪三 #NN_Audio 音频人工智能
VITs是文本到语音(Text-to-Speech,TTS)任务中最流行的技术之一，其实现思路是将文本语音信息融合到了HiFiGAN潜空间内,通过文本控制HiFiGAN的生成器，输出含文本语义的声音。VITs主要以GAN的方式训练,其生成器G是SynthesizerTrn，判别器D是MPD。VITS的判别器几乎和HiFiGAN一样，生成器则融合了文本、时序、声音三大类模型1.文件概述模型部分包含三
系统架构设计师教程第5章 5.3 系统分析与设计笔记 z2014z 系统架构设计师系统架构笔记
5.3系统分析与设计系统分析阶段把复杂的对象分解为简单的组成部分，其基本任务是在充分了解用户需求的基础上，书写系统需求规格说明书。系统设计是根据系统分析的结果，完成系统的构建过程。其主要目的是绘制系统的蓝图，权衡和比较各种技术和实施方法的利弊，合理分配各种资源，构建新系统的详细设计方案和相关模型，指导系统实施工作的顺利开展。系统设计的主要内容包括概要设计和详细设计。5.3.1结构化方法★★★★★针
计算机网络基础柒公子c
1通信协议1.1定义通信协议（communicationsprotocol）是指双方实体完成通信或服务所必须遵循的规则和约定。协议定义了数据单元使用的格式，信息单元应该包含的信息与含义，连接方式，信息发送和接收的时序，从而确保网络中数据顺利地传送到确定的地方。在计算机通信中，通信协议用于实现计算机与网络连接之间的标准，网络如果没有统一的通信协议，电脑之间的信息传递就无法识别。通信协议是指通信各方事
数据分析-24-时间序列预测之基于keras的VMD-LSTM和VMD-CNN-LSTM预测风速皮皮冰燃数据分析数据分析
文章目录1普通的LSTM模型1.1数据重采样1.2数据标准化1.3切分窗口1.4划分数据集1.5建立模型1.6预测效果2VMD-LSTM模型2.1VMD分解时间序列2.2对每一个IMF建立LSTM模型2.2.1IMF1—LSTM2.2.2IMF2-LSTM2.2.3统一代码2.3评估效果3CNN-LSTM模型3.1数据预处理3.2建立模型3.3效果预测4VMD-CNN-LSTM模型4.1VMD分解
大数据毕业设计hadoop+spark+hive知识图谱租房数据分析可视化大屏租房推荐系统 58同城租房爬虫房源推荐系统房价预测系统计算机毕业设计机器学习深度学习人工智能 2401_84572577 程序员大数据 hadoop 人工智能
做了那么多年开发，自学了很多门编程语言，我很明白学习资源对于学一门新语言的重要性，这些年也收藏了不少的Python干货，对我来说这些东西确实已经用不到了，但对于准备自学Python的人来说，或许它就是一个宝藏，可以给你省去很多的时间和精力。别在网上瞎学了，我最近也做了一些资源的更新，只要你是我的粉丝，这期福利你都可拿走。我先来介绍一下这些东西怎么用，文末抱走。（1）Python所有方向的学习路线（
十二月第一天简九月
制定显眼计划，明确工作目标我们习惯在新年开始的时候，写下一年的计划，例如今年我要读完10本书。而等到年末复盘的时候，买来的书甚至都没有翻过。做计划并没有错，关键在于你制定的计划是否具体，是否有可执行性。作家路遥在写小说《平凡的世界》的时候也给自己制定了严格的计划。他先是列了一个写作大纲，定出一个大概的轮廓。然后，分解每天要完成的部分，并在后面标注好完成日期。看着墙上的工作日期表一天天划掉，他的写作
价值流方案应用指南：推动企业转型的系统化解决方案 The Open Group 大数据数字化转型架构云计算运维
价值流方案应用的战略意义随着全球经济的数字化转型，企业面临的挑战变得更加复杂和多样化。为了在不断变化的市场中保持竞争力，企业需要能够迅速适应变化的流程优化工具。《价值流指南》由TheOpenGroup发布的企业数字化转型专业参考指南，系统化介绍了如何定义、分解和映射价值流，以及其在商业架构中的应用。价值流为企业提供了从理论到实践的全面解决方案，帮助管理者优化业务流程，提升运营效率。通过价值流的方案
10.web应用体系以及windows网络常见操作应用 XXX-17 软件测试软件测试
一、Dos命令1.启动方式：win+R，输入cmd2.切换盘符/路径：盘符名称+：（C:)cd目录（cdB111）（目录名按table键自动补全）3.查看目录：dirdir/p分页展示目录及文件dir/b展示文件名称4.创建文件夹：md文件夹名（mdt1)5.删除文件夹：rd文件夹名（rdt1）删除文件：del文件名（del222.txt）6.复制文件：copy复制文件目标路径（copymaste
长期吃动物油的人VS长期吃植物油的人，哪一种人会更健康？喜乐1986
食用油是我们在下厨时必放的一道材料，而食用油也是我们争议最大的一种材料，因为食用油在目前被分为了两大方向，一种是动物油方向，一种是植物油方向。而在这两大方向上我们到底吃哪一种油才会对身体更健康，成了我们最大的争议对象。首先从味道上来分析，如果单纯的看味道，用动物油煮出来的食物会更香，因为动物油里面包含一种特殊的蛋白物质和甘油酯的分解产物，这两种物质会使食物变得更香，而植物油中却没有这两种物质，所以
2023-04-06 晨间日记 Lily17
今天是什么日子起床：6:16就寝：10：30天气：晴心情：一般纪念日：无总目标：学习网盘课程，阅读电子书籍目标分解：设计知识地图日常记录：7:10英语8:45日记微习惯：微习惯1：每天早上6点30起床，不玩手机执行情况：完成，微习惯2-1：搜集选题和素材执行情况：未完成2-2整理素材，撰写文章执行情况：未完成每天坚持寻找素材。微习惯3：每天运动执行情况：未完成微习惯4：每天晚上九点洗澡执行情况：未
2018-12-05 农场小凤凰
这两天在听阿何老师在唯库的写作课教程，深觉写作这条路真是路漫漫其修远兮，吾将上下而求索，但是话说回来，没有任何事情能够轻而易举做到，既然选择了，就不要犹犹豫豫患得患失的，坚定走下去才能看到更美的风景，否则永远徘徊在路口的人生又有什么意思呢！没有人能随随便便成功，但只要坚持，任何人都有可能成功！纪录一下关键词一，分解练习的基础上还要整体输出二，公众号为主，各大平台为辅三，打造好个人介绍四，建立反馈机
String存储原理程序员阿鹏 Java面试八股文 java jvm 开发语言 eclipse intellij-idea 后端
1.是什么在Java中，String是一种特殊的类，它是不可变的并且存储在堆内存中。为了理解String的存储原理，我们需要分解几个关键概念：不可变性、堆内存、字符串常量池和垃圾回收机制。下面我将详细解释这些概念并举例说明。不可变性(Immutability)String类在Java中是不可变的，这意味着一旦创建了String对象，它的值就不能被修改。任何对String进行的修改操作，实际上都是创
windows C++-并行编程-PPL任务并行(一) sului windows C++并行编程技术 c++开发语言
在并发运行时中，任务是执行特定作业并通常与其他任务并行运行的工作单元。任务可以分解为组织成任务组的其他更细化的任务。编写异步代码，并希望在异步操作完成之后进行某种操作时，可使用任务。例如，可以使用一个任务以异步方式从文件读取，然后使用另一个任务(延续任务，本文档稍后会对此进行说明)在数据可用之后处理数据。相反，可以使用任务组将并行工作分解成较小的各部分。例如，假设你有一个将剩余工作划分为两个分区的
数据采集高并发的架构应用 3golden .net
问题的出发点：最近公司为了发展需要，要扩大对用户的信息采集，每个用户的采集量估计约2W。如果用户量增加的话，将会大量照成采集量成3W倍的增长，但是又要满足日常业务需要，特别是指令要及时得到响应的频率次数远大于预期。 &n
不停止 MySQL 服务增加从库的两种方式 brotherlamp linux linux视频 linux资料 linux教程 linux自学
现在生产环境MySQL数据库是一主一从，由于业务量访问不断增大，故再增加一台从库。前提是不能影响线上业务使用，也就是说不能重启MySQL服务，为了避免出现其他情况，选择在网站访问量低峰期时间段操作。一般在线增加从库有两种方式，一种是通过mysqldump备份主库，恢复到从库，mysqldump是逻辑备份，数据量大时，备份速度会很慢，锁表的时间也会很长。另一种是通过xtrabacku
Quartz——SimpleTrigger触发器 eksliang SimpleTrigger TriggerUtils quartz
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2208166 一.概述 SimpleTrigger触发器，当且仅需触发一次或者以固定时间间隔周期触发执行；二.SimpleTrigger的构造函数 SimpleTrigger(String name, String group)：通过该构造函数指定Trigger所属组和名称； Simpl
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1.如果要在workflow中调用shell脚本有一个command组件，在里面设置shell的路径；调度wf可以右键出现schedule，现在用的是HP的tidal调度wf的执行。 2.designer里面的router类似于SSIS中的broadcast（多播组件）;Reset_Workflow_Var：参数重置（比如说我这个参数初始是1在workflow跑得过程中变成了3我要在结束时还要
python 获取图片验证码中文字酷的飞上天空 python
根据现成的开源项目 http://code.google.com/p/pytesser/改写在window上用easy_install安装不上看了下源码发现代码很少于是就想自己改写一下添加支持网络图片的直接解析 #coding:utf-8 #import sys #reload(sys) #sys.s
AJAX 永夜-极光 Ajax
1.AJAX功能:动态更新页面,减少流量消耗,减轻服务器负担 2.代码结构: <html> <head> <script type="text/javascript"> function loadXMLDoc() { .... AJAX script goes here ...
创业OR读研随便小屋创业
现在研一，有种想创业的想法，不知道该不该去实施。因为对于的我情况这两者是矛盾的，可能就是鱼与熊掌不能兼得。研一的生活刚刚过去两个月，我们学校主要的是
需求做得好与坏直接关系着程序员生活质量 aijuans IT 生活
这个故事还得从去年换工作的事情说起，由于自己不太喜欢第一家公司的环境我选择了换一份工作。去年九月份我入职现在的这家公司，专门从事金融业内软件的开发。十一月份我们整个项目组前往北京做现场开发，从此苦逼的日子开始了。系统背景：五月份就有同事前往甲方了解需求一直到6月份，后续几个月也完
如何定义和区分高级软件开发工程师 aoyouzi
在软件开发领域，高级开发工程师通常是指那些编写代码超过 3 年的人。这些人可能会被放到领导的位置，但经常会产生非常糟糕的结果。Matt Briggs 是一名高级开发工程师兼 Scrum 管理员。他认为，单纯使用年限来划分开发人员存在问题，两个同样具有 10 年开发经验的开发人员可能大不相同。近日，他发表了一篇博文，根据开发者所能发挥的作用划分软件开发工程师的成长阶段。　　初
Servlet的请求与响应百合不是茶 servlet get提交 java处理post提交
Servlet是tomcat中的一个重要组成,也是负责客户端和服务端的中介 1,Http的请求方式(get ,post); 客户端的请求一般都会都是Servlet来接受的,在接收之前怎么来确定是那种方式提交的,以及如何反馈,Servlet中有相应的方法, http的get方式 servlet就是都doGet(
web.xml配置详解之listener bijian1013 java web.xml listener
一.定义 <listener> <listen-class>com.myapp.MyListener</listen-class> </listener> 二.作用该元素用来注册一个监听器类。可以收到事件什么时候发生以及用什么作为响
Web页面性能优化（yahoo技术） Bill_chen JavaScript Ajax Web css Yahoo
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【MongoDB学习笔记八】MongoDB游标、分页查询、查询结果排序 bit1129 mongodb
游标游标，简单的说就是一个查询结果的指针。游标作为数据库的一个对象，使用它是包括声明打开循环抓去一定数目的文档直到结果集中的所有文档已经抓取完关闭游标游标的基本用法，类似于JDBC的ResultSet(hasNext判断是否抓去完,next移动游标到下一条文档)，在获取一个文档集时，可以提供一个类似JDBC的FetchSize
ORA-12514 TNS 监听程序当前无法识别连接描述符中请求服务的解决方法白糖_ ORA-12514
今天通过Oracle SQL*Plus连接远端服务器的时候提示“监听程序当前无法识别连接描述符中请求服务”，遂在网上找到了解决方案： ①打开Oracle服务器安装目录\NETWORK\ADMIN\listener.ora文件，你会看到如下信息： # listener.ora Network Configuration File: D:\database\Oracle\net
Eclipse 问题 A resource exists with a different case bozch eclipse
在使用Eclipse进行开发的时候，出现了如下的问题： Description Resource Path Location TypeThe project was not built due to "A resource exists with a different case: '/SeenTaoImp_zhV2/bin/seentao'.&
编程之美-小飞的电梯调度算法 bylijinnan 编程之美
public class AptElevator { /** * 编程之美小飞电梯调度算法 * 在繁忙的时间，每次电梯从一层往上走时，我们只允许电梯停在其中的某一层。 * 所有乘客都从一楼上电梯，到达某层楼后，电梯听下来，所有乘客再从这里爬楼梯到自己的目的层。 * 在一楼时，每个乘客选择自己的目的层，电梯则自动计算出应停的楼层。 * 问：电梯停在哪
SQL注入相关概念 chenbowen00 sql Web 安全
SQL Injection：就是通过把SQL命令插入到Web表单递交或输入域名或页面请求的查询字符串，最终达到欺骗服务器执行恶意的SQL命令。具体来说，它是利用现有应用程序，将（恶意）的SQL命令注入到后台数据库引擎执行的能力，它可以通过在Web表单中输入（恶意）SQL语句得到一个存在安全漏洞的网站上的数据库，而不是按照设计者意图去执行SQL语句。首先让我们了解什么时候可能发生SQ
[光与电]光子信号战防御原理 comsci 原理
无论是在战场上,还是在后方,敌人都有可能用光子信号对人体进行控制和攻击,那么采取什么样的防御方法,最简单,最有效呢? 我们这里有几个山寨的办法,可能有些作用,大家如果有兴趣可以去实验一下根据光
oracle 11g新特性:Pending Statistics daizj oracle dbms_stats
oracle 11g新特性:Pending Statistics 转从11g开始，表与索引的统计信息收集完毕后，可以选择收集的统信息立即发布，也可以选择使新收集的统计信息处于pending状态，待确定处于pending状态的统计信息是安全的，再使处于pending状态的统计信息发布，这样就会避免一些因为收集统计信息立即发布而导致SQL执行计划走错的灾难。在 11g 之前的版本中，D
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http://blog.csdn.net/renfufei/article/details/44887371 众所周知，Oracle有很多坑, 所以才有了去IOE。在使用Druid做数据库连接池后，其实偶尔也会碰到小坑，这就是使用开源项目所必须去填平的。【如果使用不开源的产品，那就不是坑，而是陷阱了，你都不知道怎么去填坑】用Druid连接池，通过JDBC往Oracle数据库的
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1、数据库连接jdbc.properties配置详解　　jdbc.url=jdbc:hsqldb:hsql://localhost/xdb 　　jdbc.username=sa 　　jdbc.password= 　　jdbc.driver=不同的数据库厂商驱动，此处不一一列举　　接下来，详细配置代码如下：　　 Spring连接池
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张量分解--CP、Tucker分解

符号和准备工作

张量

实例

Fiber

Slice

norm

张量内积

（超）对称与（超）对角

秩一张量

对角张量

张量的矩阵化与向量化

Kolda水平展开

具体例子

mode-n product

矩阵的Kronecker乘积-（张量积）

矩阵的Khatri-Rao乘积

矩阵的Hadamard乘积

CP分解

张量CP分解的定义

向量的内积与外积

CP秩

张量CP分解的理解

Tucker分解

线性变化改变向量维度例子

参考链接

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