Sinkhorn算法

介绍

Sinkhorn算法是一种用于解决最优传输问题的迭代算法。最优传输问题是指在给定两个概率分布$\mu$和$\nu$的情况下，找到一个最优的转移方案，使得从$\mu$到$\nu$的转移成本最小。Sinkhorn算法通过迭代的方式逐步优化转移方案，以达到最优传输的目标。

Sinkhorn算法的核心思想是通过交替地更新行和列的缩放因子，来逐步逼近最优转移方案。具体来说，算法的步骤如下：

1. 初始化转移方案：
   首先，我们需要初始化一个转移方案$\mathbf{P}$，其中$\mathbf{P}$是一个$n\times m$的矩阵，表示从$\mu$到$\nu$的转移概率。通常可以使用均匀分布来进行初始化，即$\mathbf{P}=\frac{1}{nm}{1}_{n\times m}$，其中$1_{n\times m}$是一个全1的矩阵。

2. 更新行和列的缩放因子：
   在每次迭代中，我们交替地更新行和列的缩放因子。首先，我们计算当前转移方案$\mathbf{P}$的行求和向量$\mathbf{a}$和列求和向量$\mathbf{b}$，分别表示从$\mu$到$\nu$的转移概率和从$\nu$到$\mu$的转移概率。然后，我们通过将$\mathbf{a}$归一化为一个单位向量，更新列的缩放因子$\mathbf{b}$，得到$\mathbf{b}=\frac{\nu }{{\mathbf{K}}^T\mathbf{a}}$，其中$\mathbf{K}$是一个$n\times m$的矩阵，其中$K_{ij}=c_{ij}$表示从位置$i$到位置$j$的转移成本。接下来，我们通过将$\mathbf{b}$归一化为一个单位向量，更新行的缩放因子$\mathbf{a}$，得到$\mathbf{a}=\frac{\mu }{\mathbf{Kb}}$。

3. 更新转移方案：
   在每次迭代中，我们通过更新转移方案$\mathbf{P}$来逼近最优转移方案。具体来说，我们通过$\mathbf{P}=\text{diag}(\mathbf{a})\mathbf{K}\text{diag}(\mathbf{b})$来更新转移方案，其中$\text{diag}(\mathbf{a})$和$\text{diag}(\mathbf{b})$分别是行和列缩放因子的对角矩阵。

4. 重复步骤2和步骤3：
   重复执行步骤2和步骤3，直到收敛或达到预定的迭代次数。

通过交替地更新行和列的缩放因子，并更新转移方案，Sinkhorn算法能够逐步逼近最优传输方案。算法的迭代次数和收敛性可以根据具体的问题和需求进行调整。需要注意的是，Sinkhorn算法在处理大规模问题时可能会面临计算复杂度的挑战，但可以通过一些加速技巧（如近似方法）来提高算法的效率和可扩展性。

示例代码

下面是一个简单的Python代码实现Sinkhorn算法：

import numpy as np

def sinkhorn(p, q, C, epsilon, max_iters=1000):
    """
    Sinkhorn算法实现最优传输问题的解决

    参数：
    - p: 输入概率分布p，形状为(m, )的一维数组
    - q: 输入概率分布q，形状为(n, )的一维数组
    - C: 成本矩阵C，形状为(m, n)的二维数组
    - epsilon: 正则化参数
    - max_iters: 最大迭代次数，默认为1000

    返回：
    - P: 转移矩阵P，形状为(m, n)的二维数组
    """

    assert len(p) == C.shape[0], "维度不匹配"
    assert len(q) == C.shape[1], "维度不匹配"

    K = np.exp(-C / epsilon)  # 构造指数内核矩阵K
    P = np.ones_like(C)  # 初始化转移矩阵P

    for _ in range(max_iters):
        P *= (p / np.sum(K @ P, axis=1, keepdims=True)).T
        P *= (q / np.sum(K.T @ P, axis=1, keepdims=True)).T

    return P

# 示例用法
p = np.array([0.2, 0.3, 0.5])
q = np.array([0.1, 0.4, 0.5])
C = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

P = sinkhorn(p, q, C, epsilon=0.1)
print(P)

上述代码中，sinkhorn函数实现了Sinkhorn算法。它接受输入概率分布p和q，以及成本矩阵C和正则化参数epsilon。函数通过迭代更新转移矩阵P，直到收敛或达到最大迭代次数。最后，函数返回计算得到的转移矩阵P。

在示例用法中，我们定义了两个概率分布p和q，以及成本矩阵C。通过调用sinkhorn函数并传入相应参数，我们可以计算得到最优的转移矩阵P。最后，我们将P打印出来。