代码随想录算法训练营第四十五天 | 70. 爬楼梯 （进阶），322. 零钱兑换，279.完全平方数

70. 爬楼梯 （进阶）

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一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶，问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
动规五部曲分析如下：
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法
确定递推公式
在动态规划：494.目标和 动态规划：518.零钱兑换II动态规划：377. 组合总和 Ⅳ 中，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

322. 零钱兑换

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视频讲解
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额，计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1，你可以认为每种硬币的数量是无限的
动规五部曲分析如下：
确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖
所以下标非0的元素都是应该是最大值
代码如下：

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数
所以本题并不强调集合是组合还是排列
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品
所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！
那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式
本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环，且内循环正序
举例推导dp数组
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

dp[amount]为最终结果

// 版本一
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

279.完全平方数

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视频讲解
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量，完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积，例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是
动规五部曲分析如下：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式
非0下标的dp[j]应该是多少呢？
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖
确定遍历顺序
我们知道这是完全背包
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品
所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
这里给出外层遍历背包，内层遍历物品的代码：

vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
        dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
    }
}

举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：

dp[0] = 0 dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1 dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2 dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3 dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1 dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2
最后的dp[n]为最终结果

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};