(动态规划) 剑指 Offer 49. 丑数 ——【Leetcode每日一题】

❓剑指 Offer 49. 丑数

难度：中等

我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。

示例:

输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。

说明:

• 1 是丑数。
• n 不超过1690。

注意：本题 264. 丑数 II 相同。

思路：动态规划

根据题意，每个丑数都可以由其他较小的丑数通过乘以 2 或 3 或 5 得到。

• 所以，可以考虑使用一个数组保存所有的丑数，每次取出最小的那个，然后乘以 2 , 3 , 5 后放回数组。

定义 dp 数组记录丑数列表，首个丑数为 1 ，以及定义 三个指针 i2, i3, i5 分别表示下一个丑数是当前指针指向的丑数乘以 2 , 3 , 5 。

刚开始 i2, i3, i5 都指向 dp 数组的第一个数dp[0]，利用三个指针生成丑数的算法流程：

• 计算下一个丑数的候选集 next2、next3、next5 ，分别等于 dp[i2]*2 、dp[i3]*3、dp[i5]*5；
• 选择丑数候选集中最小的那个作为下一个丑数，填入 dp[i] 。
• 将被选中的丑数对应的指针向右移动一格。

返回 dp数组 的最后一个元素 dp[n - 1]。

代码：(C++、Java)

C++

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        if(n < 7) return n;
        int i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0;//都从下标0开始，即dp数组的第一个数
        vector<int> dp(n);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            int next2 = dp[i2] * 2, next3 = dp[i3] * 3, next5 = dp[i5] * 5;
            dp[i] = min(next2, min(next3, next5)); //取最小值入队
            //如果当前数已经存入dp数组，则下标加1
            if(dp[i] == next2) i2++;
            if(dp[i] == next3) i3++;
            if(dp[i] == next5) i5++;
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

Java

class Solution {
    public int nthUglyNumber(int n) {
        if(n < 7) return n;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        int i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0;//都从下标0开始，即dp数组的第一个数
        for(int i = 1; i < n; i++){
            int next2 = dp[i2] * 2, next3 = dp[i3] * 3, next5 = dp[i5] * 5;
            dp[i] = Math.min(next2, Math.min(next3, next5)); //取最小值入队
            //如果当前数已经存入dp数组，则下标加1
            if(dp[i] == next2) i2++;
            if(dp[i] == next3) i3++;
            if(dp[i] == next5) i5++;
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$，计算 dp 数组需遍历 n−1 轮。
• 空间复杂度：$O(n)$，长度为 n 的 dp 数组使用 $O(n)$ 的额外空间。

题目来源：力扣。

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