专题：曲面的切平面、法线
假设曲面方程为隐函数 F ( x , y , z ) = 0 ，点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是其上一点 又在点 M 处任意引一条在曲面上的曲线，设该曲线参数方程为： { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) z = ω ( t ) ，且当 t = t 0 时， x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 那么 F ( φ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ) = 0 对 t 求全导，得 F x φ ′ ( t 0 ) + F y ψ ′ ( t 0 ) + F z ω ′ ( t 0 ) = 0 分析： 由于 ( φ ′ ( t 0 ) , ψ ′ ( t 0 ) , ω ′ ( t 0 ) ) 表达的是曲线的切向量， 因此上式表达的是向量 ( F x , F y , F z ) 与切向量垂直 而该曲线是经过点 M 的任意曲线， 如果一个向量与任意切线都垂直的话， 那这些任意切线必定在一个平面内， 这个平面就叫做曲面在点M处的切平面 而 ( F x , F y , F z ) 为 曲面在点M处的一个法向量 因此很容易得到切平面方程为： F x ( x − x 0 ) + F y ( y − y 0 ) + F z ( z − z 0 ) = 0 法线方程为： x − x 0 F x = y − y 0 F y = z − z 0 F z 如果曲面由显函数 z = f ( x , y ) 给出， 则 F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z = 0 ， F x = f x ， F y = f y ， F z = − 1 法向量 ( F x , F y , F z ) 的模为 1 + f x 2 + f y 2 假设法向量朝 z 轴正向，则方向余弦为： cos α = − f x 1 + f x 2 + f y 2 , cos β = − f y 1 + f x 2 + f y 2 , cos γ = 1 1 + f x 2 + f y 2 假设曲面方程为隐函数F(x,y,z)=0，点M(x_0,y_0,z_0)是其上一点 \\ 又在点M处任意引一条在曲面上的曲线，设该曲线参数方程为：\\ \begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \\ z=\omega(t) \\ \end{cases}，且当t=t_0时，x=x_0,y=y_0,z=z_0 \\ 那么F(\varphi(t),\psi(t),\omega(t)) = 0 \\ 对t求全导，得F_x\varphi^{\prime}(t_0)+F_y\psi^{\prime}(t_0)+F_z\omega^{\prime}(t_0)=0 \\ \,\\ 分析：\\ 由于(\varphi^{\prime}(t_0),\psi^{\prime}(t_0),\omega^{\prime}(t_0))表达的是曲线的切向量，\\ 因此上式表达的是向量(F_x,F_y,F_z)与切向量垂直\\ 而该曲线是经过点M的任意曲线，\\ 如果一个向量与任意切线都垂直的话，\\ 那这些任意切线必定在一个平面内，\\ \textbf{这个平面就叫做曲面在点M处的切平面} \\ 而(F_x,F_y,F_z)为\textbf{曲面在点M处的一个法向量} \\ 因此很容易得到切平面方程为：\\ F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0 \\ 法线方程为：\\ \frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z} \\ \,\\ 如果曲面由显函数z=f(x,y)给出，\\ 则F(x,y,z)=f(x,y)-z=0，F_x=f_x，F_y=f_y，F_z=-1 \\ 法向量(F_x,F_y,F_z)的模为\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} \\ 假设法向量朝z轴正向，则方向余弦为：\\ \cos\alpha=\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},\cos\beta=\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} 假设曲面方程为隐函数F(x,y,z)=0，点M(x0,y0,z0)是其上一点又在点M处任意引一条在曲面上的曲线，设该曲线参数方程为：⎩ ⎨ ⎧x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t)，且当t=t0时，x=x0,y=y0,z=z0那么F(φ(t),ψ(t),ω(t))=0对t求全导，得Fxφ′(t0)+Fyψ′(t0)+Fzω′(t0)=0分析：由于(φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0))表达的是曲线的切向量，因此上式表达的是向量(Fx,Fy,Fz)与切向量垂直而该曲线是经过点M的任意曲线，如果一个向量与任意切线都垂直的话，那这些任意切线必定在一个平面内，这个平面就叫做曲面在点M处的切平面而(Fx,Fy,Fz)为曲面在点M处的一个法向量因此很容易得到切平面方程为：Fx(x−x0)+Fy(y−y0)+Fz(z−z0)=0法线方程为：Fxx−x0=Fyy−y0=Fzz−z0如果曲面由显函数z=f(x,y)给出，则F(x,y,z)=f(x,y)−z=0，Fx=fx，Fy=fy，Fz=−1法向量(Fx,Fy,Fz)的模为1+fx2+fy2假设法向量朝z轴正向，则方向余弦为：cosα=1+fx2+fy2−fx,cosβ=1+fx2+fy2−fy,cosγ=1+fx2+fy21