检错纠错码（奇偶校验码 CRC循环冗余校验码 海明码）
检错与纠错码在计算机中经常被使用，在此对常用的三种检错纠错码做一个介绍，分别是奇偶校验码，CRC循环冗余校验码和海明码。
奇偶校验码
通常所说的奇偶校验码指的是一维奇偶校验码，它只能检错，不能纠错；只有二维奇偶校验码具备纠错能力。
校验方法：分为奇校验和偶校验，默认是校验所传输数据中’1’的个数是奇数还是偶数。
当约定为奇校验时，当所传输数据中’1’的个数为奇数，便在数据后面添加’0’；当所传输数据中’1’的个数为偶数，便在数据后面添加’1’，使1的个数满足奇数个。当约定为偶校验时，类似。后面的附加位选择是用来控制数据中’1’的个数，使其满足校验规则（奇数个或是偶数个）。
判断是否出错？当约定为奇校验时，如果接收方收到的数据中’1’的个数为奇数时，则认为未出错，否则发生错误。偶校验时类似。
例如：对待传输数据10110110约定采用奇校验时，发送方所需要发送的校验码为101101100，对于接收方来说，如果接收到的数据中’1’的个数不为奇数时，就会认为数据出错。
特点：接收方不会知道是数据的哪一处发生错误；只能检测奇数个位出现错误的情形，不能检验偶数个位发生错误；开销小，常用来校验1字节长的数据（只有1位出现错误的可能性大）。
CRC循环冗余校验码
循环冗余校验可以发现并纠正信息在传输过程中所出现的错误。
由于后面计算的需要，先引入模2运算的计算方法，它也可以看作为异或运算。
模2加法-按位加，不考虑进位：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=0。模2减法-按位减，不考虑借位：0-0=0；0-1=1；1-0=1；1-1=0。可以看出模2加法与减法的运算结果相同，故一律采用模2加法来运算。模2乘法-按照模2加法求部分积之和，不考虑进位。模2除法-按照模2减法求部分余数，不借位。余数的位数应该为除数的位数减一。
生成多项式：G(x)的选用需要满足合适的条件：1，任何一位发生错误，都应该使余数不为0；2，不同位发生错误应使余数不同；3，对余数继续做模2除，应使余数循环。当然，在实际中只需查找资料来选用我们需要的生成多项式即可。
常用的3阶4位生成多项式G(x)为x³+x+1,转换成二进制为1011。
校验方法：将所给的k位生成多项式看作为除数（提示：被除数/除数=商），将所传输的数据左移k-1位，除以生成多项式得到一个k-1位的余数。再将左移过的所传输数据与所得的余数相加，相加的结果就为CRC码。CRC码左边的k-1位称为校验位，其余称为有效信息位。
判断是否出错？如果接收方收到的数据除以G(x)的余数为0(即能被G(x)整除)，则认为未出错，如果不能被整除，则认为在传输过程中发生错误，并由所得的余数指出哪一位出错，从而进行纠正。
例如：若有效信息为1100，用生成多项式G(x)=1011将其编成CRC码的过程如下。
首先发现G(x)为4位，从而将有效信息1100左移3位，得1100000，再用它除生成多项式，即1100000/1011=1110…010,所得余数010与被除数1100000相加，得1100010，这便是我们所求得的CRC码。
其中关于模2除法如下图：
关于接收方的出错模式如下（其中G(x)=1011 ）：
| CRC码序号 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 余数 | 出错位置 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正确CRC码 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 000 | 无 |
| 出错： | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 001 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 010 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 100 | 2 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 011 | 3 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 110 | 4 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 111 | 5 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 101 | 6 |
如果CRC码中有一位出错，就会得到一个不为0的余数。如果将余数左移一位继续除下去，会发现各次所得余数将按照上表所示的顺序循环。例如位置0出错，余数为001，将其左移得到0010，再除以G(x)得余数010，左移得到0100，除以G(x)得余数100…反复循环，这便是“循环码”名称的由来。
对于不同的二进制数来讲，
如果我们所选的生成多项式不变，那么所得的余数与出错位置的对应关系也不会
变。
即如果有效信息为1001时，它通过G(x)=1011所得到的CRC码为1001110，对于接收方来讲，如果第0位出错，余数依然为001，第1位出错，余数依然为100…
4位的生成多项式最多可传输多少位有效信息
当生成多项式为1011(4位，最高次幂为3），校验位为3位时，所得余数的位数也只能为3，它可能会出现2^3=8种不同的排列结果，其中去掉传输成功时的余数000，还剩余7种不同的结果，它刚好可以对应传输数据种7种不同位的出错可能(4个有效信息位和3个校验位)。如上例的4位有效信息1100，这也是采用4位生成多项式为1011所能传输的最大有效信息位。
如果当有效信息为5位时，生成多项式仍为1011，所得CRC码为8位，而3个校验位最多只能检测出7种不同位的错误，需要增加校验位，即需要采用更高阶的生成多项式。
结论:4位的生成多项式最多可传输4位有效信息
特点：纠正1位错误；检验1位或2位错误；检验所有奇数位错误；检验低于16位的突发性错误；对高于16位的突发性错误的检测成功率高达99.9%。
海明码
引入：如果对n位数据增加k位检测位，使得通过检测位可以发现并纠正错误。那么n与k之间需满足的关系是 2^k≥n+k+1。
这个不等式与CRC码最后问题所得到的结论是相同的，当k为3时，2的3次方为8，故所取的数据位数n最大为4，在此不做赘述。唯一的区别是海明码的校验位是分散在有效信息位中的。通过不等式2^k≥n+k+1所得到的代码长度与检测位的关系如下：
| n | k |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2~4 | 3 |
| 5~11 | 4 |
| 12~26 | 5 |
| 27~57 | 6 |
| 58~120 | 7 |
关于汉明码的编码方法，在这里就不列举公式了(公式很长)。下面通过举例来说明海明码的构造和检错方法：
例：在海明校验中采用偶校验，对有效信息01001101进行海明编码。
首先，有效信息位个数n=8，通过上面的不等式得出校验位的个数应该为4，所以海明码应该为8+4=12位。列表如下
| 内容 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 编号 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
其中4个校验位分别位于编号为‘8’ ‘4‘ ‘2’ ’1‘处，如果有更多的校验位，编号可以继续取’16‘ ’32‘ ’64‘…；8位有效信息码依次填入其余编号处，至此第一步完成。
然后通过下面12个等式，用校验位编号表示出海明码所有的编号‘1’-‘12’
1=1 2=2 3=1+2 4=4 5=4+1 6=4+2 7=4+2+1 8=8 9=8+1 10=8+2 11=8+2+1 12=8+4在上述等式中
右边含有编号为’1’的校验位有’3’，‘5’，‘7’，‘9’，‘11’。对这5位上的内容做偶校验，可得’1‘校验位的内容应该为1，从而使得编号‘1’，‘3’，‘5’，‘7’，‘9’，'11’中的数据满足偶校验。可认为这5位中的数据是由‘1’校验位来负责。
| 内容 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 编号 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
右边含有编号为‘2’的校验位有‘3’，‘6’，‘7’，‘10’，‘11’。对这5位上的内容做偶校验，可得‘2’校验位的内容应该为0，从而使得编号‘2’，‘3’，‘6’，‘7’，‘10’，‘11’中的数据满足偶校验。可认为这5位中的数据是由‘2’校验位来负责。
| 内容 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 编号 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
右边含有编号为‘4’的校验位有‘5’，‘6’，‘7’，‘12’。对这4位上的内容做偶校验，可得‘4’校验位的内容应该为0，从而使得编号‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘12’中的数据满足偶校验。可认为这4位中的数据是由‘4’校验位来负责。
| 内容 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 编号 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
右边含有编号为‘8’的校验位有‘9’，‘10’，‘11’，‘12’。对这4位上的内容做偶校验，可得‘8’校验位的内容应该为1，从而使得编号‘8’，‘9’，‘10’，‘11’，‘12’中的数据满足偶校验。可认为这4位中的数据是由‘8’校验位来负责。
| 内容 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 编号 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
由此就得到在满足偶校验下的对应于信息01001101的海明编码为010011100101.
对上面的海明码，如果编号‘6’中的数据出错，接收方如何知道是数据种的哪一位出错呢？
接收方所得到的编码如下：
| 内容 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 编号 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
检错：
对于校验位‘1’，由于是偶校验，而‘1’所负责的编号‘1’，‘3’，‘5’，‘7’，‘9’，'11’中的数据满足101011偶校验，正常。
对于校验位‘2’，由于是偶校验，而‘2’所负责的编号‘2’，‘3’，‘6’，‘7’，‘10’，‘11’中的数据101010不满足偶校验，故‘2’所负责的几位中有一位出错。
对于校验位‘4’，由于是偶校验，而‘4’所负责的编号‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘12’中的数据01000不满足偶校验，故‘4’所负责的几位中有一位出错。
对于校验位‘8’，由于是偶校验，而‘8’所负责的编号‘8’，‘9’，‘10’，‘11’，‘12’中的数据01001满足偶校验，正常。
据此可得，发生错误的位置编号为4+2=6，即编号‘6’处数据发生错误，从而进行改正。
特点：可以检测出2位错误，纠正1位错误。