2019-09-30 最小外包圆的计算方法以及证明

给定平面一堆点集，求包含这些点的面积最小的圆形
该问题最初为数学家西尔维斯特提出

网上虽有解法，但未有证明，以下方法为笔者独立思考的结果

1，基本思路是迭代，假设要求的点的个数是N，我们可以先求出第一个点的最小外包圆，再求出前2个点的，然后前3个。。。
每次引入一个新点

首先证明一个引理：一个圆是一堆点(个数>=2)的最小外包圆 等价于 该圆同时满足以下2个性质：
(1)圆周上有>=2个点，其余点全部在圆内部；
(2)圆周上的点所形成的凸包包含圆心；

证明如下：

先证=> :
如果该圆周上的点数小于<=1，因为其是外包圆，则其余所有点都位于圆内部，显然我们可以把圆保持与该点接触的状态去缩小它，直到和另外一个点也接触，得到一个更小的外包圆，矛盾，
所以（1）成立；
假设(2)不成立，如果凸包不包含圆心，可以找到圆的一条直径，使得凸包的顶点整个位于直径的一侧，并且其余点都在圆内部，那么我们可以将这个圆沿着和该直径垂直，且指向凸包的方向平移微小量使得所有点都位于圆内部，那么再缩小该圆直至满足性质(1),可以得到一个更小的外包圆，矛盾；

再证<=:
根据性质（1），（2）这个圆显然被 圆周上的点所”固定“住了，这是因为我们无法将该圆缩小或者向任何一个方向移动 而又保持不让凸包的任何部分落到圆外面；因为圆向任何一方向移动时，与该方向垂直的那条直径两侧圆周上都有 点（性质2），一旦移动某一侧的顶点就会落到圆外面，这意味着该圆无法再缩小，因此它就是最小外包圆；

证明完毕 ，后文中把这2个性质简称为 性质1 和性质 2

下面来构建求最小外包圆的方法，用数学归纳法：
1，假设已经求得了前n个点的最小外包圆 （后文中简称为圆1），现在要求前n+1个点的最小外包圆（后文中简称为目标圆）
下面我给出2个命题：
命题1：如果第n+1个点位于圆1内部，则目标圆就是圆1；
命题2：如果第n+1个点位于圆1外部，则该点一定位于目标圆的圆周上；

下面对这2个命题进行证明如下：

先证命题1：
我们设包含所有前n个点的圆（允许点落在圆周上）所组成的集合为S[n],包含所有前n+1个点的圆的集合为S[n+1],
因为包含前n+1个点的圆一定也包含前n个点，所以S[n+1]是S[n]的子集；则S[n]中半径最小的圆如果也属于S[n+1]，则它一定也是S[n+1]中半径最小的圆；
这就证明了命题1；

再证命题2：
反证法，假设第n+1个点位于圆1外部且不在目标圆的圆周上，根据目标圆是最小外包圆的性质，第n+1个点一定位于目标圆内部，
那这就意味着，根据引理（=>），目标圆一定满足性质1，和性质2 ；再结合第n+1个点在目标圆内部， 这三条结合起来看，我们得到
目标圆相对于前n个点来说，也满足性质1，和性质2 ；再一次利用引理 （<=）得出目标圆就是前n个点的最小外包圆;也就是目标圆就是圆1，
但是对于圆1来说第n+1个点在其外部，矛盾；
这就证明了命题2；

接下来我们可以执行数学归纳法了，
当第n+1个点位于圆1内部时，我们已经求得了目标圆；
当第n+1个点位于圆1外部时，第n+1一个点位于目标圆上，

此时我们又有2种方法

方案1：
根据命题2，目标圆必然满足以下性质 ：前n个点到目标圆圆心的距离不会超过第n+1个点到圆心的距离（因为第n+1个点在圆周上）
根据这个性质，我们可以如下限制圆心的范围：
首先我们做出第n+1个点和前面任意一个点的连接线段的垂直平分线，该平分线把平面分为2个部分，其中一侧的点 离第n+1个点更近，另外一侧的点离另一点更近，
这样我们缩小了目标圆圆心的范围，依次对第n+1个点和前n个点的每一个点做出类似的直线，通过这些直线可以确定一块区域，目标圆的圆心只能位于该区域中；
这块区域的边界是一条折线（并且只能向一个方向弯曲），那么我们可以求出，该区域中离 第n+1个点最近的点 （它一定在边界上，证明略）；也就是求一条折线上到一个固定点距离最短的点坐标，显然可以通过数学方法求出，
那么下面我断言，该点作为圆心，该点到第n+1个点的距离作为半径，构建的圆一定是前n+1个点的最小外包圆，这是因为：
首先半径最小的性质由计算过程可以看出来，又因为任何点到该点的距离不超过该点到第n+1个点的距离（半径r），它确实是一个外包圆，因此它就是目标圆；

方案2：
方案1中的方法虽然可行，但是需要执行复杂的计算，有无保持与前文推理一致的仅仅需要判定点是否在圆内部的方法？

当第n+1个点在当前圆外部时，由于它必然在目标圆上，
我们可以重新以这个点为起点开始归纳，把前n个点依次进行判定，
，当出现新点在圆外时，我们得到了2个在圆上的点，于是可以再以这2个点为起始开始归纳，
把前n+1个点中除了这2个点之外的点依次加入，一旦出现在外部情形，就确定最终圆了。

至此，得到了求解一堆点的最小外包圆的方法及证明

显然，以上方法也可以推广到任意n维欧式空间中任意点集 的 的最小体积 超球体的求解
特殊情形就是三维空间点集的最小外包球的求解。