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不同优化目标的归一化

多目标TSP优化问题不同于传统的单目标TSP优化问题，拥有多个目标函数，且往往相互冲突，无法同时达到最优。与此同时函数值之间难以比较，所以导致很多在解决单目标TSP优化问题的有效算法，在面对多目标TSP问题时难以发挥，为了解决这个问题，采用标准化的思想，将不同的目标函数值，投影到0到1之间，从而进行组合比较。

遍历全连通图，获取每一个目标的最大值和最小值FMax（j）和FMin（j），将两城市之间不同代价距离映射到0到1之间。

多目标优化问题的一个解决办法是 e-约束优化

example_1：

传统 e-constraint method 的思想：将f2(x)、f3(x)…fp(x)单独求最优后的值作为约束条件，这样求解的过程中，所有可行解都不会比该约束对应的解要低，满足了Pareto optimal 所要求的cannot be improved in one objective function 性质。

example_1变为：

传统 e-constraint method 的步骤（以example_1为例）：

1 求解 max f1(x)为目标函数下，f2(x), f3(x)…fp(x)的值，这些值为对应function的可行区间端点值,记为f2_min, f3_min…fp_min。
2 求解余下各个objective function的值，max f2(x), max f3(x)…max fp(x)，这些值为对应function的可行区间的端点值，记为f2_max, f3_max…fp_max。至此，得到了p-1个可行区间[(f2_min, f2_max),(f3_min, f3_max)…(fp_min, fp_max)]。
3 在p-1个可行区间内设定步长，得到Pareto optimal解集的个数。若设置每个区间内步长统一为n，则一个区间内可以得到(f2_max-f2_min)/n个解，p-1个区间内就有(p-1)*(f2_max-f2_min)/n。
进行p-1次循环，每次的步长值作为约束条件添加进优化模型中：

    for i in p-1 
        for j in range（fi_min, fi_max, yourstep): 
            model.e = i
            model.f2 <= model.e
            solve(model)

注意事项：

在求解过程中，求出端点值fi_min和fi_max后需要有一个比较过程，因为根据不同的算例，二者求得的顺序有可能相反，在规定步长的代码中最大值和最小值传入顺序（先大后小）要正确否则会报错。
在相应求解最小值的过程中，应改为

model.f2 <= model.e

https://blog.csdn.net/u012997048/article/details/88985001