图论算法基础:单源最短路径Dijkstra算法分析

图的邻接矩阵

namespace Graph_Structure
{
	//Vertex是代表顶点的数据类型,Weight是边的权值的数据类型,MAX_W是权值的上限值(表示不相两)
	//Direction表示图是否为有向图
	template<class Vertex, class Weight = int, Weight MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
	class Graph
	{
		typedef Graph<Vertex, Weight, MAX_W, Direction> Self;
	public:
		//使用编译器的默认构造函数
		Graph() = default;

		//给定一个存放顶点的数组用来初始化图
		Graph(const Vertex* a, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			_indexMap.rehash(n);
			_matrix.resize(n, std::vector<Weight>(n, MAX_W));
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				//建立顶点和数组下标的映射(目的是为了邻接矩阵的边存储)
				_indexMap[a[i]] = i;
			}
		}

		//获取顶点在邻接矩阵中对应的下标
		size_t GetVertexIndex(const Vertex& vertex)
		{
			if (_indexMap.find(vertex) == _indexMap.end())
			{
				throw "invalued_para";
				return -1;
			}
			return _indexMap[vertex];
		}


		void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const Weight& w)
		{
			//判断是有向图还是无向图
			if (Direction == false)
			{
				_matrix[dsti][srci] = w;
			}
			_matrix[srci][dsti] = w;
		}
		//给定起点和终点,在邻接矩阵中添加一条边
		void AddEdge(const Vertex& src, const Vertex& dst, const Weight& w)
		{
			if (_indexMap.find(src) == _indexMap.end() || _indexMap.find(dst) == _indexMap.end())
			{
				throw "invalued_para";
			}

			size_t srci_index = GetVertexIndex(src);
			size_t dst_index = GetVertexIndex(dst);
			_AddEdge(srci_index, dst_index, w);
		}
		
		//将图的邻接矩阵打印出来
		void Print()
		{
			for (auto e : _vertexs)
			{
				std::cout << e << '[' << _indexMap[e] << ']' << std::endl;
			}

			std::cout << "     ";
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				std::cout << i << "    ";
			}
			std::cout << std::endl;


			int i = 0;
			for (auto arry : _matrix)
			{
				std::cout << i++ << ' ';
				for (auto e : arry)
				{
					if (e == MAX_W)
					{
						printf("%4c ", '*');
					}
					else
					{
						printf("%4d ", e);
					}
				}
				std::cout << std::endl;
			}
		}

		//图的广度优先遍历
		void BFS(const Vertex& src)
		{
			size_t begin = GetVertexIndex(src);
			std::queue<int> QNode;
			std::vector<bool> Label(_vertexs.size(), false);
			QNode.push(begin);
			Label[begin] = true;
			size_t Level = 0;
			while (!QNode.empty())
			{
				size_t LevelSize = QNode.size();
				for (size_t i = 0; i < LevelSize; ++i)
				{
					size_t front = QNode.front();
					QNode.pop();
					std::cout << _vertexs[front] << '[' << front << ']' << std::endl;
					for (int j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
					{
						if (Label[j] == false && _matrix[front][j] != MAX_W)
						{
							QNode.push(j);
							Label[j] = true;
						}
					}
				}
			}
		}
		
		//图的深度优先遍历
		void DFS(const Vertex& src)
		{
			std::vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
			_DFS(GetVertexIndex(src), visited);
		}
	private:
		void _DFS(size_t srci, std::vector<bool>& visited)
		{
			visited[srci] = true;
			std::cout << _vertexs[srci] << '[' << srci << ']' << std::endl;
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
				{
					_DFS(i, visited);
				}
			}
		}
	private:
		std::vector<Vertex> _vertexs;						// 顶点集合
		std::unordered_map<Vertex, size_t> _indexMap;		// 顶点映射下标
		std::vector<std::vector<Weight>> _matrix;			// 邻接矩阵
	};
}

在有向带权图中给定一个起始顶点(源点),Dijkstra算法可以求出所有其他顶点到源点的最短路径,Dijkstra算法不能用于同时含有正负权值的边的图

一.Dijkstra算法分析

算法的核心逻辑要素

1. Source顶点集合:已经确定到源点的最短路径的顶点就会加入Source集合中,Source集合初始时只有源点
2. dist数组:用于记录每个顶点到源点的距离,dist数组具有如下性质:
   • 对于存在于Source集合中的顶点,该顶点在dist数组中对应的值为该顶点到源点最短路径的距离(一类顶点)
   • 对于不在Source集合中但是与Source集合直接相连的顶点,该顶点在dist数组中对应的值为该顶点经过Source集合达到源点的最短路径的距离(二类顶点)
   • 对于不在Source集合中且不与Source集合直接相连的顶点,该顶点在dist数组中对应的值为无穷大(三类顶点)
     

算法的执行逻辑

• 容易证明,dist数组只要保持上述的性质,那么,在二类顶点中,dist值最小的顶点就可以加入Source集合而且这个最小值就是该顶点到源点的最短距离.
• 每当有一个顶点加入了Source集合,就以该顶点为枢纽对dist数组进行更新保持其原本的性质
• 如此往复直到图中所有顶点都加入了Source集合,dist数组就记录了图中所有顶点到源点的最短距离.
  

二.Dijkstra算法接口实现

		//单源最短路径算法,src为起始顶点(源点)
		//dist用于记录各顶点到源点的距离
		//parentPath用于记录最短路径中各顶点的前驱顶点
		void Dijkstra(const Vertex& src, std::vector<Weight>& dist, std::vector<int>& parentPath)
		{
			dist.resize(_vertexs.size(), MAX_W);
			parentPath.resize(_vertexs.size(), -1);
			//用于标记Source集合中顶点的表,初始时只有源点在其中
			std::vector<bool> Source(_vertexs.size(), false);
			int srcindex = GetVertexIndex(src);
			dist[srcindex] = 0;		//源点自己到自己的距离为0

			//图共有多少个顶点就执行多少次循环
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				//从dist数组中选出距离源点最近的二类顶点加入到Source集合中
				int MinWeight = MAX_W;
				int Minindex = -1;
				for (int j = 0; j < dist.size(); ++j)
				{
					if (Source[j] == false && dist[j] < MinWeight)
					{
						MinWeight = dist[j];
						Minindex = j;
					}
				}
				//将顶点加入Source集合中
				Source[Minindex] = true;
				//更新与Source集合直接相连且不在Source集合中的顶点距离源点的距离(dist数组的更新)
				for (int j = 0; j < _matrix.size(); ++j)
				{
					if (_matrix[Minindex][j] != MAX_W &&
						Source[j] == false && _matrix[Minindex][j] + dist[Minindex] < dist[j])
					{
						dist[j] = _matrix[Minindex][j] + dist[Minindex];
						//记录顶点前驱
						parentPath[j] = Minindex;
					}
				}
			}
		}

• 接口中的parentPath数组用于记录最短路径中每个顶点的前驱顶点,算法结束后,借助parentPath数组中可以完整地得到每一条最短路径

邻接矩阵堆优化版本:

• 从dist数组中选出距离源点最近的二类顶点这个过程可以借助堆来完成,邻接矩阵堆优化版本:

		//堆优化版本
		struct vertex_dist
		{
			int _dest;
			Weight _v_source;

			vertex_dist(int dest,Weight v_source)
				:_dest(dest),
				 _v_source(v_source){}

			//小堆比较运算符
			bool operator>(const vertex_dist& v_d) const
			{
				return _v_source > v_d._v_source;
			}
		};
		void Dijkstra_heap(const Vertex& src, std::vector<Weight>& dist, std::vector<int>& parentPath)
		{
			dist.resize(_vertexs.size(), MAX_W);
			parentPath.resize(_vertexs.size(), -1);
			//用于标记Source集合中顶点的表,初始时只有源点在其中
			std::vector<bool> Source(_vertexs.size(), false);
			int srcindex = GetVertexIndex(src);
			dist[srcindex] = 0;		//源点自己到自己的距离为0
			//创建小堆
			std::priority_queue<vertex_dist, std::vector<vertex_dist>, std::greater<vertex_dist>> Heap;
			Heap.push(vertex_dist(srcindex, 0));

			while (!Heap.empty())
			{
				vertex_dist Smallest = Heap.top();
				Heap.pop();
				//若顶点已经在Source集合中则跳过
				if (Source[Smallest._dest]) continue;
				//将顶点加入Source集合中
				Source[Smallest._dest] = true;
				for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
				{
					if (_matrix[Smallest._dest][i] != MAX_W &&
						Source[i] == false && _matrix[Smallest._dest][i] + dist[Smallest._dest] < dist[i])
					{
						dist[i] = _matrix[Smallest._dest][i] + dist[Smallest._dest];
						Heap.push(vertex_dist(i, dist[i]));
						//记录顶点前驱
						parentPath[i] = Smallest._dest;
					}
				}
			}
		}

• 邻接矩阵堆优化版本并不能降低算法的时间复杂度(仍然为O(N^2)),要想降低Dijkstra算法的时间复杂度就要使用邻接表存储结构或链式前向星存储结构(配合堆优化)可以将复杂度降为O(mlogn)( n表示点数,m 表示边数)