Leetcode刷题笔记——剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列（中等）

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题目描述

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

注：
1.后序遍历定义： [ 左子树 | 右子树 | 根节点 ] ，即遍历顺序为 “左、右、根” 。
2.二叉搜索树定义： 左子树中所有节点的值 < 根节点的值；右子树中所有节点的值 > 根节点的值；其左、右子树也分别为二叉搜索树。

方法一：递归分治

1. 终止条件： 当$i\ge j$，说明此子树节点数量$\le 1$，无需判别正确性，直接返回true。
2. 递归工作：
   1.划分左右子树：遍历后序遍历的 $[i,j]$ 区间元素，寻找第一个大于根节点的节点，索引记为$m$ 。此时，可划分出左子树区间 $[i,m-1]$ 、右子树区间 $[m,j-1]$ 、根节点索引 $j$ 。
   2.判断是否为二叉搜索树：
   左子树区间$[i,m-1]$内的所有节点都应 $<postorder[j]$ 。而第步骤1已经保证左子树区间的正确性，因此只需要判断右子树区间即可。
   右子树区间 $[m,j-1]$ 内的所有节点都应 $>postorder[j]$ 。实现方式为遍历，当遇到 $\le postorder[j]$ 的节点则跳出；则可通过 $p=j$ 判断是否为二叉搜索树。
3. 返回值： 所有子树都需正确才可判定正确，因此使用与逻辑符 && 连接。

复杂度分析

时间复杂度 $O(N^2)$ ： 每次调用 $recur(i,j)$ 减去一个根节点，因此递归占用 $O(N)$ ；最差情况下（即当树退化为链表），每轮递归都需遍历树所有节点，占用 $O(N)$。

空间复杂度 $O(N)$ ： 最差情况下（即当树退化为链表），递归深度将达到 $N$。

C++代码实现

class Solution {
public:
    bool verifyPostorder(vector<int>& postorder) {
        return recur(postorder, 0, postorder.size()-1);
    }
    bool recur(vector<int>& postorder,int i, int j){
        if(i >= j)return true;
        int p = i;
        // 寻找第一个比根节点大的元素
        while(postorder[p] < postorder[j]) p++;
        // 标记该元素的序号
        int m = p;
        // 验证右子树区间元素是否大于根节点
        while(postorder[p] > postorder[j]) p++;
        return p == j && recur(postorder, i, m-1) && recur(postorder, m, j-1);
    }
};

方法二：辅助单调栈

1. 后序遍历倒序： [ 根节点 | 右子树 | 左子树 ] 。类似 先序遍历的镜像 ，即先序遍历为 “根、左、右” 的顺序，而后序遍历的倒序为 “根、右、左” 顺序。
   

2. 设后序遍历倒序列表为 $[r_n,r_{n-1},...,r_1]$，遍历此列表，设索引为 $i$ ，若为二叉搜索树 ，则有：
   当节点值 $r_i>r_{i+1}$时： 节点$r_i$ 一定是节点$r_{i+1}$的右子节点。
   当节点值 $r_i<r_{i+1}$时： 节点 $r_i$ 一定是某节点 root 的左子节点，且 root 为节点 $r_{i+1},r_{i+2},...,r_n$中值大于且最接近 $r_i$的节点（∵ root 直接连接左子节点 $r_i$）。

3. 当遍历时遇到递减节点 $r_i<r_{i+1}$，若为二叉搜索树，则对于后序遍历中节点 $r_i$ 右边的任意节点 $r_x\in [r_{i-1},r_{i-2},...,r_1]$，必有节点值 $r_x<root$

注：节点 $r_x$ 只可能为以下两种情况：① $r_x$ 为 $r_i$的左、右子树的各节点；②$r_x$ 为 $root$ 的父节点或更高层父节点的左子树的各节点。在二叉搜索树中，以上节点都应小于 $root$。

遍历 “后序遍历的倒序” 会多次遇到递减节点 $r_i$，若所有的递减节点 $r_i$ 对应的父节点 $root$ 都满足以上条件，则可判定为二叉搜索树。
根据以上特点，考虑借助单调栈实现：

1. 借助一个单调栈 stack 存储值递增的节点；
2. 每当遇到值递减的节点 $r_i$，则通过出栈来更新节点 $r_i$ 的父节点 $root$；
3. 每轮判断 $r_i$ 和 $root$的值关系：
   1. 若 $r_i>root$则说明不满足二叉搜索树定义，直接返回 $false$。
   2. 若 $r_i<root$则说明满足二叉搜索树定义，则继续遍历。

算法流程：

1. 初始化：单调栈 $stack$，父节点值 $root=+\infty$ 初始值为正无穷大，可把树的根节点看为此无穷大节点的左孩子）；
2. 倒序遍历 $postorder$ ：记每个节点为 $r_i$；
   1. 判断： 若 $r_i>root$，说明此后序遍历序列不满足二叉搜索树定义，直接返回 $false$ ；
   2. 更新父节点 $root$ ： 当栈不为空且$r_i<stack.peek()$时，循环执行出栈，并将出栈节点赋给 $root$。
   3. 入栈：将当前节点 $r_i$入栈；
3. 若遍历完成，则说明后序遍历满足二叉搜索树定义，返回 $true$。

复杂度分析

时间复杂度 $O(N)$： 遍历 $postorder$ 所有节点，各节点均入栈 / 出栈一次，使用 $O(N)$ 时间。
空间复杂度 $O(N)$： 最差情况下，单调栈 $stack$ 存储所有节点，使用 $O(N)$ 额外空间。

C++代码实现

class Solution {
public:
    bool verifyPostorder(vector<int>& postorder) {
        stack<int> stack;
        int root = INT_MAX;
        for(int i = postorder.size()-1; i >= 0; i--){
            if(postorder[i] > root) return false;
            while(!stack.empty() && stack.top() > postorder[i]){
                root = stack.top();
                stack.pop();
            }
            stack.push(postorder[i]);
        }
        return true;
    }
};