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多项式函数

• 设$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$是$p[x]$中的多项式
• $\alpha$是数域$P$中的数,$f(\alpha )={\sum }_{i=0}^n{a}_i{\alpha }^i$称为$x=\alpha$时的值
• 由此从多项式$f(x)$定义了一个数域P上的函数$f(x)$
• 定义:可以由一个多项式定义的函数称为数域P上的多项式函数

余数定理(余式定理)

• 用一次多项式$x-\alpha$除多项式$f(x)$的余式$c$是一个常数且$c=f(\alpha )$
  • 设$f(x)=(x-\alpha )q(x)+c$
    • $q(x)=\frac{f(x)-c}{x-\alpha }$
  • 将$x=\alpha$带入$f(x)$,$f(\alpha )=(\alpha -\alpha )q(x)+c=0+c=c$
  • 因此$c=f(\alpha )$,即余式c是一个常数而且等于$f(\alpha )$
• 这意味着,若$\alpha$是$f(x)$的根($f(\alpha )=0$),则有整除关系$(x-\alpha )|f(x)$

根(零点)

• 两种描述方法:
  • 若存在$\alpha$,使得$f(\alpha )=0$,则称$\alpha$为$f(x)$的一个根或零点
  • 如果$f(x)$在$x=\alpha$时函数值$f(\alpha )=0$,那么$\alpha$就称为$f(x)=0$的一个根或零点

重根和单根

• $f(x)=0$的根分为单根和重根两类

• 根据根与一次因式的这个关系,还可以定义重根的概念

  • 若$x-\alpha$是$f(x)$的$k$重因式,则$\alpha$称为$f(x)$的"$k$重根",

    • 当$k=1$时,$\alpha$称为$f(x)$的单根

    • 当$k>1$时,$\alpha$称为$f(x)$的重根;$k$称为重根的重数

根与一次因式的关系

• $f(\alpha )=0$($\alpha$是$f(x)$的根)的充要条件是$(x-\alpha )|f(x)$
  • 充分性:若$(x-\alpha )|f(x)$,则可以设$f(x)=(x-\alpha )q(x)$,此时$f(\alpha )=(\alpha -\alpha )q(x)=0$,所以$f(\alpha )=0$
  • 必要性:
    • 设$f(x)=(x-\alpha )q(x)+r(x)$,由余式定理可知$r(x)=f(\alpha )$,从而$f(x)=(x-\alpha )q(x)+f(\alpha )$
    • 或者根据余式定理直接设任意多项式:$f(x)=(x-\alpha )q(x)+f(\alpha )$
    • 将$f(\alpha )=0$代入该等式右边,得$f(x)=(x-\alpha )q(x)$,从而$(x-\alpha )|f(x)$
• 本结论蕴含了$f(x)=0$的根的数目与多项式的约束关系(上限):
  • 该方程的根的数目$m$(重根以重数累计$m=\sum n_i$)不超过$n=\partial (f(x))$
  • 否则$G(x)={\prod }_{i=1}^m(x-{\alpha }_i)$,$\partial (G(x))=m>n$显然不可能有$G(x)=f(x)$

推论

定理:多项式的根数小等于多项式的次数

• $P[x]$中多项式$f(x)$ $(\partial (f(x))=n⩾0)$在数域P中的根数目$m$满足$m⩽n$(重根按重数计算)

• 证明:

  • 对于零次多项式$f(x)=c\ne 0$,$n=0$,定理显然成立
    • 注意$f(x)=0$是零多项式,不是零次多项式,不满足$n=0$,其次数没有定义,而不是所谓的0
    • $f(x)=0$无解,因此根的数目为$m=0$
    • 因此满足$m⩽1$
  • $n>0$时,把$f(x)$分解为不可约的多项式乘积
  • $f(x)$在数域P中根的个数$m$等于分解式中一次因式的个数,显然$m⩽n$

• 这条结论可以为代数学基本定理的铺垫,代数学基本定理给出了更加具体的关系

定理:同根的多项式相等判定定理

• 为例便于表述,做符号说明:

  • 设$D=\{1,2,\cdots ,n,n+1\}$,若$i\ne j$,则,${\alpha }_i\ne {\alpha }_j$,$i,j\in D$
  • "$f({\alpha }_i)=g({\alpha }_i),\forall i\in D$等价于$f({\alpha }_i)=g({\alpha }_i),i=1,2,\cdots ,n+1$

• 定理:若$\partial (f(x)),\partial (g(x))⩽n$,且$f({\alpha }_i)=g({\alpha }_i),\forall i\in D$则$f(x)=g(x)$

  • 配合自然语言描述:若$f(x),g(x)$的次数均不超过$n$,且它们对$n+1$个不同的数${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$都有相同的函数值$f({\alpha }_i)=g({\alpha }_i),i=1,\cdots ,n+1$,那么$f(x)=g(x)$

• 证明:

  • 由条件得$f({\alpha }_i)-g({\alpha }_i)=0,\forall i\in D$,记$H(x)=f(x)-g(x)$,则$H({\alpha }_i)=0$;设$H(x)$的根的个数为$m$(重根累计其重数)
  • 由$H(x)=0$有$n+1$个不同的根,则$\partial (H(x))⩾n+1$
    • 若$H(x)\ne 0$,则$\partial (H(x))⩽n$,矛盾
      • 或者从另一角度:,$H(x)$的根的个数$m⩽n$,而不可能有$m=n+1$,矛盾
    • 从而$H(x)=0$,即$f(x)=g(x)$

根据给定根构造多项式

• 求以$x_1,\cdots ,x_m$为根的多项式$f(x)$
  • $f(x)$=${\prod }_{i=1}^m(x-x_i)$是最常见的构造公式
  • 对$f(x)={\prod }_{i=1}^m(x-x_i)$两边同时乘以$(-1{)}^m$,则$(-1{)}^{n}f(x)$=${\prod }_{i=1}^m(x_i-x)$,$g(x)={\prod }_{i=1}^m(x_i-x)$也满足要求

任意多项式因式分解

• 若$n$次多项式$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$的$n$个根分别为$x_1,\cdots ,x_n$,$h(x)$=${\prod }_{i=1}^n(x-x_i)$,则$f(x)=a_{n}h(x)$
  • 由余式定理:$h(x)|f(x)$
  • 另一方面,$\partial (h(x))$=$\partial (f(x))$=$n$,且$a_n=\frac{f(x)}{h(x)}$是一个零次多项式(常数)
  • 即$f(x)$和$h(x)$相差常数倍$a_n$

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