数学建模：层次分析法

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层次分析法

步骤描述

1. 将问题条理化，层次化，构建出一个有层次的结构模型。层次分为三类：目标层，准则（指标）层，方案层。
2. 比较指标层中不同指标之间的相对重要程度，并且构建一个成对比较矩阵。
   1. 自行判断两个不同指标的相对重要程度。
   2. 如果指标1重要程度大于指标2，并且赋予一个重要程度为3，因此得到其指标1的值为3，
   3. 同理指标2的重要程度小于指标1（不能存在矛盾），因此相对的指标2的值为$\frac{1}{3}$
   4. 因此任意两个指标重要度之间存在的关系为：$a_{ij}>0，a_{ij}=\frac{1}{a_{ji}}，i,j\in (1,2,3,...n)$
   5. 接着构建出所有两个指标的这种关系，就可以得到一个关于所有指标两两之间的成对比较矩阵$A_{nn}$，其中 $n$ 为指标的数量。
3. 在单一准则下计算指标相对排序的权重，以及进行判断矩阵（成对比较矩阵）的一致性检验
4. 计算方案层中对于目标层的总排序权重，从而得到评价后的结果。

算法流程

1. 通过分层与条理化后，我们得到了两两指标之间的成对比较矩阵（判断矩阵）：

∣ 1 3 1 1 / 3 1 / 3 1 1 / 2 1 / 5 1 2 1 1 / 3 3 5 5 1 ∣ \left|\begin{array}{cccc}1 & 3 & 1 & 1 / 3 \\1 / 3 & 1 & 1 / 2 & 1 / 5 \\1 & 2 & 1 & 1 / 3 \\3 & 5 & 5 & 1\end{array}\right| ​11/313​3125​11/215​1/31/51/31​ ​

1. 首先得到判断矩阵的最大特征值对应的特征向量T：

$$T=\left[\begin{array}{cccc}{t}_1& t_2& \cdots & t_n\end{array}\right]$$

1. 得到权重向量W：

$$\begin{array}{c}W=\left[\begin{array}{cccc}{w}_1& w_2& \cdots & w_n\end{array}\right]\\ \\ w_i=\frac{t_i}{{\sum }_{i=1}^n{t}_i}\end{array}$$

1. 计算一致性指标$CI$

$$CI=\frac{{\lambda }_{\max }-n}{n-1}$$

1. 查找相应的随机平均一致性指标$RI$：如果$n=5$ 则表示有五个指标，则$RI=RI(1,5)=1.12$

1. 计算**一致性比例CR：**当 $CR<0.10$ 时，一致性接受，否则改矩阵应该适当修改参数。

$$CR=\frac{CI}{RI}$$

1. 计算评价对象的得分：其中 $P$ 为归一化后的原始数据，$W$为权重向量

$$Score=P\cdot W$$

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完整代码

function [Score,W] = mfunc_levelAnalysis(A,data)
    % 层次分析法：求解每个评价对象的综合得分与对应权重
    % paramts: 
    %      A: 两两指标之间的自定义的成对对角矩阵 Shape: (n,n)
    %      data: 原始数据矩阵,(m,n) m为评价对象，n为评价指标
    % returns:
    %      Score：每个评价对象的综合得分
    %      W: 所有指标的权重
    
    % 成对对角矩阵：A判别矩阵
    % A=[1,3,1,1/3;
    %     1/3,1,1/2,1/5;
    %     1,2,1,1/3;
    %     3,5,3,1];
    [n,~]=size(data);
    %Z=zscore(X);
    Z = data ./ repmat(sum(data.*data) .^ 0.5, n, 1); %矩阵归一化
    
    [n,~]=size(A);
    %求特征值特征向量,找到最大特征值对应的特征向量
    [V,D]=eig(A);
    tzz=max(max(D));     %找到最大的特征值
    c1=find(D(1,:)==tzz);%找到最大的特征值位置
    T=V(:,c1);%最大特征值对应的特征向量
    %赋权重
    W=zeros(n,1);
    for i=1:n
    W(i,1)=T(i,1)/sum(T);
    end
    %一致性检验
    CI=(tzz-n)/(n-1);
    RI=[0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59];
    %判断是否通过一致性检验
    CR=CI/RI(1,n);
    if CR>=0.1
       fprintf('没有通过一致性检验\n');
    else
      fprintf('通过一致性检验\n');
    end
     score=Z*W;
     Score=100*score/max(score);
end

有关成对比较矩阵两两指标之间的的相关重要性的程度参考：