Dijkstra算法详解（二）------堆优化版

     上篇文章中讲解了朴素版Dijkstra算法，也提到了堆优化版的算法。这篇文章就详细解释一下什么是堆优化版，并解释它的优点。

      一、用途

     二者适用的环境不同。朴素版Dijkstra算法适用于稠密图，而堆优化版Dijkstra适用于稀疏图。

两种图的区别上一篇文章讲的很清楚了，不懂的可以去看看http://t.csdn.cn/spjm9

      二、如何进行的优化

    我们先来看看朴素版耗时的原因在哪？

for(i:1 ~ n)//n次
{
    t <- 没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点;//每次遍一遍历dist数组，n次的复杂度是O(n^2)
    state[t] = 1;
    更新 dist;//每次遍历一个节点的出边，n次遍历了所有节点的边，复杂度为O(m)
}

   由此可见。一开始我们要遍历所有点，就是为了去找到最近的点。这就是耗时的主要原因。

   因为它的主要目的就是为了找最小值，所以我们可以想到用小根堆去写（堆优化）。

      三、例题

  

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围

1≤n,m≤1.5×10^5
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 10^9。

输入样例：

3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4

输出样例：

3

    四、例题分析

1.点和边是一个数量级的，属于稀疏图。考虑用堆优化版的Dijkstra算法。

2.稀疏图用邻接表去存储数据。

3.采用优先队列，队列按小根堆的方式出队，队头就是最小值。

#include 
#include 
#include 
#include //使用优先队列

using namespace std;

typedef pair PII;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue, greater> heap;
    heap.push({0, 1});

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    cout << dijkstra() << endl;

    return 0;
}

代码链接：AcWing 850. Dijkstra求最短路 II - AcWing

可能存在的疑问：

Q1：入队的时候为什么传入{0，1}而不是{1，0}？

A:priority_queue 是按照pair的第一个进行排序，所以distance应该放在前面。

Q2：if(st[ver]) continue如何理解？每个队头出队之后，才会st[ver]=true，在队内不应该存在已经确定了最短路径的点，这一步是否多余？

A：不多余。因为题目中说了有重边的出现，也就是说队列中可能会出现相同的点，当这个点的其中一个确定了最短路，其他相同的点就可能出现这种情况。

Q3：自环如何处理的？

A：if(dist[j]>dist[ver]+w[i]) dist[j]=dist[ver]+w[i];这段代码。当出现自环时ver==j,则条件判断就会为假，对结果不会产生影响。

Q4：最后遍历为什么是for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])而不是for(int j=1;j<=n;j++)？

A：这是因为两种存储方式的不同。前者是邻接表，更新的是和ver这个点相连的点，因为只有相连的点才有w[i](权重)。后者是邻接矩阵,和ver点连接的点的权重是g[ver][j]，没有连接的点都是g[ver][j]==0x3f3f3f3f(此处是正无穷)，取dist[j]=min(_)的时候对结果没有影响。