线性代数(六)：相似对角化
相似对角化
定义6.1：对 n n n阶方阵 A \bold{A} A, B \bold{B} B,若有可逆 n n n阶方阵 P \bold{P} P使得： P − 1 A P = B \bold{P^{-1}AP=B} P−1AP=B则称 A A A与 B B B相似，记作 A ∼ B \bold{A\sim B} A∼B，而 P \bold{P} P称作相似变换矩阵。
Remark：矩阵的相似关系是一种矩阵等价的关系。
定理6.1：若 A ∼ B \bold{A\sim B} A∼B则 r ( A ) = r ( B ) , ∣ A ∣ = ∣ B ∣ , 且 A 、 B 具有相同的特征值 r(A)=r(B), |A|=|B|,且A、B具有相同的特征值 r(A)=r(B),∣A∣=∣B∣,且A、B具有相同的特征值
证明：由矩阵相似的定义及 定理1.2可知： r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B)
d e t ( P − 1 ) d e t ( A ) d e t ( P ) = d e t ( B ) ⟹ d e t ( A ) = d e t ( B ) det(P^{-1})det(A)det(P)=det(B)\Longrightarrow det(A)=det(B) det(P−1)det(A)det(P)=det(B)⟹det(A)=det(B) d e t ( A − λ E ) = d e t ( P − 1 ) d e t ( A − λ E ) d e t ( P ) = d e t ( P − 1 A P − λ E ) = d e t ( B − λ E ) det(A-\lambda E)=det(P^{-1})det(A-\lambda E)det(P)=det(P^{-1}AP-\lambda E)=det(B-\lambda E) det(A−λE)=det(P−1)det(A−λE)det(P)=det(P−1AP−λE)=det(B−λE)故方阵 A , B A,B A,B具有相同的特征多项式（特征值）。
定理6.2：在复数域上，任何 n n n阶方阵 A A A均可相似于一个上三角矩阵。
证明：采用数学归纳法。
\ \ \quad\quad 当 n = 1 n=1 n=1时，显然成立。
\ \ \quad\quad 假设阶数 n − 1 n-1 n−1时，定理也成立，下面证明阶数为 n n n时该定理也成立：
\ \ \quad\quad 可以构造出如下可逆方阵 P P P: P = [ X ⃗ , p ⃗ 2 , … , p ⃗ n ] , 其中 X ⃗ 为方阵 A 对应特征值 λ 的特征向量，而 p ⃗ i 则为 R n 中的任意向量，仅要求 P 的列向量线性无关满足 P 可逆即可。 P=[\vec{X},\vec{p}_2,\dots,\vec{p}_n],其中\vec{X}为方阵A对应特征值\lambda的特征向量，而\vec{p}_i则为R^n中的任意向量，仅要求P的列向量线性无关满足P可逆即可。 P=[X,p2,…,pn],其中X为方阵A对应特征值λ的特征向量，而pi则为Rn中的任意向量，仅要求P的列向量线性无关满足P可逆即可。
\ \ \quad\quad 那么， A P = [ A X ⃗ , A p ⃗ 2 , … , A p ⃗ n ] = [ X ⃗ , p ⃗ 2 , … , p ⃗ n ] [ λ a 12 a 13 … a 1 n 0 a 22 a 23 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 a n 2 a n 3 … a n n ] n = [ X ⃗ , p ′ ] [ λ A 0 B n − 1 ] AP=[A\vec{X},A\vec{p}_2,\dots,A\vec{p}_n]=[\vec{X},\vec{p}_2,\dots,\vec{p}_n]\begin{bmatrix}\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}_n=[\vec{X},\bold{p'}]\begin{bmatrix}\lambda&A\\0&B_{n-1}\end{bmatrix} AP=[AX,Ap2,…,Apn]=[X,p2,…,pn]⎣ ⎡λ0⋮0a12a22⋮an2a13a23⋮an3………a1na2n⋮ann⎦ ⎤n=[X,p′][λ0ABn−1]
\ \ \quad\quad 其中， A p ⃗ i = [ a 1 , i a 2 , i ⋮ a n , i ] A\vec{p}_i=\begin{bmatrix}a_{1,i}\\a_{2,i}\\\vdots\\a_{n,i}\end{bmatrix} Api=⎣ ⎡a1,ia2,i⋮an,i⎦ ⎤
\ \ \quad\quad 那么 P − 1 A n P = [ λ A 0 B n − 1 ] P^{-1}A_nP=\begin{bmatrix}\lambda&A\\0&B_{n-1}\end{bmatrix} P−1AnP=[λ0ABn−1]
\ \ \quad\quad 由于定理对任意 n − 1 n-1 n−1阶方阵均成立，则存在可逆矩阵 P 0 P_0 P0使得： P 0 − 1 B n − 1 P 0 = [ λ 2 ∗ … ∗ 0 λ 3 … ∗ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … λ n ] P_0^{-1}B_{n-1}P_0=\begin{bmatrix}\lambda_2&*&\dots&*\\ 0&\lambda_3&\dots&*\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix} P0−1Bn−1P0=⎣ ⎡λ20⋮0∗λ3⋮0………∗∗⋮λn⎦ ⎤
\ \ \quad\quad 则： [ 1 0 0 P 0 ] − 1 [ λ A 0 B n − 1 ] [ 1 0 0 P 0 ] = [ λ A P 0 0 P 0 − 1 B P 0 ] ( 上三角矩阵 ) \begin{bmatrix}1&0\\0&P_0\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\lambda&A\\0&B_{n-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&P_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda&AP_0\\0&P_0^{-1}BP_0\end{bmatrix}(上三角矩阵) [100P0]−1[λ0ABn−1][100P0]=[λ0AP0P0−1BP0](上三角矩阵)
\ \ \quad\quad 综上，存在可逆矩阵 Q Q Q使得： Q − 1 A n Q = [ λ 1 ∗ … ∗ 0 λ 2 … ∗ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … λ n ] ，其中 Q = P P 1 , P 1 = [ 1 0 0 P 0 ] Q^{-1}A_nQ=\begin{bmatrix}\lambda_1&*&\dots&*\\ 0&\lambda_2&\dots&*\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}，其中Q=PP_1,P_1=\begin{bmatrix}1&0\\0&P_0\end{bmatrix} Q−1AnQ=⎣ ⎡λ10⋮0∗λ2⋮0………∗∗⋮λn⎦ ⎤，其中Q=PP1,P1=[100P0]
定义6.2：若存在与方阵 A A A相似的对角矩阵，则称方阵 A A A 可相似对角化。
定理6.3： n n n阶矩阵 A A A可相似对角化的 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺方阵 A A A存在 n n n个线性无关的特征向量，且：
P − 1 A P = d i a g ( λ 1 , λ 2 , … , λ n ) P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\qquad P−1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)其中, P = [ X ⃗ 1 , X ⃗ 2 , … , X ⃗ n ] ， { λ i , X ⃗ i } 为方阵 A 的特征对。 P=[\vec{X}_1,\vec{X}_2,\dots,\vec{X}_n]，\{\lambda_i,\vec{X}_i\}为方阵A的特征对。 P=[X1,X2,…,Xn]，{λi,Xi}为方阵A的特征对。
证明：若 n n n阶方阵 A A A可相似化，则存在可逆矩阵 P P P，使得： A P = P [ a 11 a 22 ⋱ a n n ] AP=P\begin{bmatrix}a_{11}\\&a_{22}\\&&\ddots\\&&&a_{nn}\end{bmatrix} AP=P⎣ ⎡a11a22⋱ann⎦ ⎤
对 P P P进行列分块，即 P = [ X ⃗ 1 , X ⃗ 2 , … , X ⃗ n ] P=[\vec{X}_1,\vec{X}_2,\dots,\vec{X}_n] P=[X1,X2,…,Xn]， X ⃗ i ≠ 0 \vec{X}_i\ne0 Xi=0则有： [ A X ⃗ 1 , A X ⃗ 2 , … , A X ⃗ n ] = [ a 11 X ⃗ 1 , a 22 X ⃗ 2 , … , a n n X ⃗ n ] ⟹ A X ⃗ i = a i i X ⃗ i （ i = 1 , 2 , … , n ） [A\vec{X}_1,A\vec{X}_2,\dots,A\vec{X}_n]=[a_{11}\vec{X}_1,a_{22}\vec{X}_2,\dots,a_{nn}\vec{X}_n]\Longrightarrow A\vec{X}_i=a_{ii}\vec{X}_i（i=1,2,\dots,n） [AX1,AX2,…,AXn]=[a11X1,a22X2,…,annXn]⟹AXi=aiiXi（i=1,2,…,n）
显然， { a i i , X ⃗ i } \{a_{ii},\vec{X}_i\} {aii,Xi}为方阵 A A A的特征对，由于 P P P为可逆矩阵，即满秩，则其 n n n个列向量线性无关。
反而言之，若 A A A存在 n n n个线性无关的特征向量，则按上述构造的可逆矩阵 P P P与对角阵满足矩阵相似的定义式。（证毕）
Remark: 显然，方阵可对角化但与方阵相似的对角矩阵与可逆矩阵P并不唯一。
（1）调整对角阵对角元素的次序可得到不同的对角阵，此时，P阵列向量的次序也需对应作出调整；
（2）对角阵保持不变，此时,P阵也不唯一，因 k X i （ k ≠ 0 ） kX_i（k\ne0） kXi（k=0）也是特征值 λ i \lambda_i λi对应的特征向量。
推论6.1：方阵可相似对角化 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺方阵的 r r r重特征值有 r r r个线性无关的特征向量。
证明：由于需要n个线性无关的特征向量，且代数重数大于等于几何重数，故推论6.1成立。
定义6.3：若方阵可相似对角化且逆矩阵为正交矩阵（ P − 1 = P T P^{-1}=P^{T} P−1=PT）则称该方阵可正交相似对角化。
定理6.4：实对称矩阵必可正交相似对角化。
证明：采用数学归纳法：
\ \ \qquad 对 n = 1 n=1 n=1阶方阵显然成立。
\ \ \qquad 假设对 n − 1 n-1 n−1阶方阵 A A A该定理也成立，则下面证明对 n n n阶矩阵该定理也成立:
\ \ \qquad 记方阵 A A A的一特征值为 λ \lambda λ,其对应的单位特征向量为 X ⃗ \vec{X} X
\ \ \qquad 由定理2.7，在 R n R^n Rn空间中存在标准正交向量组： { X ⃗ , α ⃗ 2 , α ⃗ 3 , … , α ⃗ n } \{\vec{X},\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3,\dots,\vec{\alpha}_n\} {X,α2,α3,…,αn} \ \ \qquad 其中， { α ⃗ 2 , α ⃗ 3 , … , α ⃗ n } \{\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3,\dots,\vec{\alpha}_n\} {α2,α3,…,αn}不一定为 A A A的特征向量。
\ \ \qquad 由定理2.9知有正交矩阵： P = [ X ⃗ , α ⃗ 2 , α ⃗ 3 , … , α ⃗ n ] P=[\vec{X},\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3,\dots,\vec{\alpha}_n] P=[X,α2,α3,…,αn]
\ \ \qquad 那么： P − 1 A P = P T A P = [ X ⃗ T α ⃗ 2 T α ⃗ 3 T ⋮ α T ⃗ n ] A [ X ⃗ , α ⃗ 2 , α ⃗ 3 , … , α ⃗ n ] = [ X ⃗ T A X ⃗ X ⃗ T A α ⃗ 2 X ⃗ T A α ⃗ 3 … X ⃗ T A α ⃗ n α ⃗ 2 T A X ⃗ α ⃗ 2 T A α ⃗ 2 T α ⃗ 2 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 2 T A α ⃗ n α ⃗ 3 T A X ⃗ α ⃗ 3 T A α ⃗ 2 α ⃗ 3 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 3 T A α ⃗ n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ α ⃗ n T A X ⃗ α ⃗ n T A α ⃗ 2 α ⃗ n T A α ⃗ 3 … α ⃗ n T A α ⃗ n ] = [ X ⃗ T ( A X ⃗ ) ( A X ⃗ ) T α ⃗ 2 ( A X ⃗ ) T A α ⃗ 3 … ( A X ⃗ ) T α ⃗ n α ⃗ 2 T ( A X ⃗ ) α ⃗ 2 T A α ⃗ 2 α ⃗ 2 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 2 T A α ⃗ n α ⃗ 3 T ( A X ⃗ ) α ⃗ 3 T A α ⃗ 2 α ⃗ 3 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 3 T A α ⃗ n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ α ⃗ n T ( A X ⃗ ) α ⃗ n T A α ⃗ 2 α ⃗ n T A α ⃗ 3 … α ⃗ n T A α ⃗ n ] P^{-1}AP=P^TAP=\begin{bmatrix}\vec{X}^T\\\vec{\alpha}_2^T\\\vec{\alpha}_3^T\\\vdots\\\vec{\alpha^T}_n\end{bmatrix}A[\vec{X},\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3,\dots,\vec{\alpha}_n] =\begin{bmatrix}\vec{X}^TA\vec{X}&\vec{X}^TA\vec{\alpha}_2&\vec{X}^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{X}^TA\vec{\alpha}_n\\ \vec{\alpha}_2^TA\vec{X}&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_2^T&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_n\\ \vec{\alpha}_3^TA\vec{X}&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ \vec{\alpha}_n^TA\vec{X}&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_n\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\vec{X}^T(A\vec{X})&{(A\vec{X})}^T\vec{\alpha}_2&{(A\vec{X})}^TA\vec{\alpha}_3&\dots&{(A\vec{X})}^T\vec{\alpha}_n\\ \vec{\alpha}_2^T(A\vec{X})&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_n\\ \vec{\alpha}_3^T(A\vec{X})&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ \vec{\alpha}_n^T(A\vec{X})&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_n\\\end{bmatrix} P−1AP=PTAP=⎣ ⎡XTα2Tα3T⋮αTn⎦ ⎤A[X,α2,α3,…,αn]=⎣ ⎡XTAXα2TAXα3TAX⋮αnTAXXTAα2α2TAα2Tα3TAα2⋮αnTAα2XTAα3α2TAα3α3TAα3⋮αnTAα3…………XTAαnα2TAαnα3TAαn⋮αnTAαn⎦ ⎤=⎣ ⎡XT(AX)α2T(AX)α3T(AX)⋮αnT(AX)(AX)Tα2α2TAα2α3TAα2⋮αnTAα2(AX)TAα3α2TAα3α3TAα3⋮αnTAα3…………(AX)Tαnα2TAαnα3TAαn⋮αnTAαn⎦ ⎤
\ \ \qquad 又 A X ⃗ = λ X ⃗ A\vec{X}=\lambda\vec{X} AX=λX并由正交性得： P − 1 A P = [ X ⃗ T ( A X ⃗ ) ( A X ⃗ ) T α ⃗ 2 ( A X ⃗ ) T A α ⃗ 3 … ( A X ⃗ ) T α ⃗ n α ⃗ 2 T ( A X ⃗ ) α ⃗ 2 T A α ⃗ 2 α ⃗ 2 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 2 T A α ⃗ n α ⃗ 3 T ( A X ⃗ ) α ⃗ 3 T A α ⃗ 2 α ⃗ 3 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 3 T A α ⃗ n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ α ⃗ n T ( A X ⃗ ) α ⃗ n T A α ⃗ 2 α ⃗ n T A α ⃗ 3 … α ⃗ n T A α ⃗ n ] = [ X ⃗ T ( λ X ⃗ ) ( λ X ⃗ ) T α ⃗ 2 ( λ X ⃗ ) T A α ⃗ 3 … ( λ X ⃗ ) T α ⃗ n α ⃗ 2 T ( λ X ⃗ ) α ⃗ 2 T A α ⃗ 2 α ⃗ 2 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 2 T A α ⃗ n α ⃗ 3 T ( λ X ⃗ ) α ⃗ 3 T A α ⃗ 2 α ⃗ 3 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 3 T A α ⃗ n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ α ⃗ n T ( λ X ⃗ ) α ⃗ n T A α ⃗ 2 α ⃗ n T A α ⃗ 3 … α ⃗ n T A α ⃗ n ] = [ λ 0 0 … 0 0 α ⃗ 2 T A α ⃗ 2 α ⃗ 2 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 2 T A α ⃗ n 0 α ⃗ 3 T A α ⃗ 2 α ⃗ 3 T A α ⃗ 3 … α ⃗ 3 T A α ⃗ n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 α ⃗ n T A α ⃗ 2 α ⃗ n T A α ⃗ 3 … α ⃗ n T A α ⃗ n ] = [ λ 0 0 B n − 1 ] P^{-1}AP=\begin{bmatrix}\vec{X}^T(A\vec{X})&{(A\vec{X})}^T\vec{\alpha}_2&{(A\vec{X})}^TA\vec{\alpha}_3&\dots&{(A\vec{X})}^T\vec{\alpha}_n\\ \vec{\alpha}_2^T(A\vec{X})&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_n\\ \vec{\alpha}_3^T(A\vec{X})&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ \vec{\alpha}_n^T(A\vec{X})&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_n\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{X}^T(\lambda\vec{X})&{(\lambda\vec{X})}^T\vec{\alpha}_2&{(\lambda\vec{X})}^TA\vec{\alpha}_3&\dots&{(\lambda\vec{X})}^T\vec{\alpha}_n\\ \vec{\alpha}_2^T(\lambda\vec{X})&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_n\\ \vec{\alpha}_3^T(\lambda\vec{X})&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ \vec{\alpha}_n^T(\lambda\vec{X})&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_n\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\lambda&0&0&\dots&0\\ 0&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_2^TA\vec{\alpha}_n\\ 0&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_3^TA\vec{\alpha}_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_2&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_3&\dots&\vec{\alpha}_n^TA\vec{\alpha}_n\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&B_{n-1}\end{bmatrix} P−1AP=⎣ ⎡XT(AX)α2T(AX)α3T(AX)⋮αnT(AX)(AX)Tα2α2TAα2α3TAα2⋮αnTAα2(AX)TAα3α2TAα3α3TAα3⋮αnTAα3…………(AX)Tαnα2TAαnα3TAαn⋮αnTAαn⎦ ⎤=⎣ ⎡XT(λX)α2T(λX)α3T(λX)⋮αnT(λX)(λX)Tα2α2TAα2α3TAα2⋮αnTAα2(λX)TAα3α2TAα3α3TAα3⋮αnTAα3…………(λX)Tαnα2TAαnα3TAαn⋮αnTAαn⎦ ⎤=⎣ ⎡λ00⋮00α2TAα2α3TAα2⋮αnTAα20α2TAα3α3TAα3⋮αnTAα3…………0α2TAαnα3TAαn⋮αnTAαn⎦ ⎤=[λ00Bn−1]
\ \ \qquad 由归纳假设存在正交矩阵Q,使得： Q − 1 B Q = [ λ 2 λ 3 λ 4 ⋱ λ n ] Q^{-1}BQ=\begin{bmatrix}\lambda_2\\&\lambda_3\\&&\lambda_4\\&&&\ddots\\&&&&\lambda_n\end{bmatrix} Q−1BQ=⎣ ⎡λ2λ3λ4⋱λn⎦ ⎤
\ \ \qquad 令 P 1 = [ 1 Q ] P_1=\begin{bmatrix}1\\&Q\end{bmatrix} P1=[1Q]
\ \ \qquad 则 P 1 − 1 = [ 1 Q − 1 ] = P 1 T = [ 1 Q T ] P_1^{-1}=\begin{bmatrix}1\\&Q^{-1}\end{bmatrix}=P_1^T=\begin{bmatrix}1\\&Q^T\end{bmatrix} P1−1=[1Q−1]=P1T=[1QT]
\ \ \qquad 显然， P 1 P_1 P1为正交矩阵。
\ \ \qquad 那么， P 1 − 1 P − 1 A P P 1 = [ 1 Q T ] [ λ 0 0 B ] [ 1 Q ] = [ λ Q T B Q ] = d i g a { λ , λ 1 , … , λ n } P_1^{-1}P^{-1}APP_1=\begin{bmatrix}1\\&Q^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\&Q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda\\&Q^TBQ\end{bmatrix}=diga\{\lambda,\lambda_1,\dots,\lambda_n\} P1−1P−1APP1=[1QT][λ00B][1Q]=[λQTBQ]=diga{λ,λ1,…,λn}
\ \ \qquad 又 P , P 1 P,P_1 P,P1均为正交矩阵，则 P P 1 PP_1 PP1为正交矩阵。（证毕）
推论6.2：实对称矩阵必存在 n n n个线性无关的特征向量，换而言之，其几何重数等于代数重数。