算法通关村第9关【黄金】| 两道有挑战的问题

1. 将有序数组转换为二叉搜索树

思路：二分法，这个算法保证了每次选择的中间元素都能保持左右子树的高度差不超过 1，从而构建一个高度平衡的二叉搜索树。这个过程类似于分治法，通过递归不断将大问题分解成小问题并解决。

1. 找到数组的中间元素，将它作为根节点。
2. 以中间元素为界，将数组分成左右两个子数组。
3. 递归地将左子数组构建为左子树，将右子数组构建为右子树。
4. 返回根节点，连接左右子树。

class Solution {
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        return trace(nums,0,nums.length - 1);
    }

    public TreeNode trace(int[] nums,int left,int right) {
        if(left>right){
            return null;
        }
        int mid = (right + left)/2;
        TreeNode node = new TreeNode(nums[mid]);
        node.left = trace(nums,left,mid - 1);
        node.right = trace(nums,mid + 1,right);
        return node;
    }
}

2.寻找两个正序数组的中位数

 思路：找第k小的数字，每次抛弃k/2个数字

也就是奇数总数找第(len1+len2)/2的数字，偶数总数找第(len1+len2)/2和(len1+len2)/2 + 1的数字

 /* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较

         * 这里的 "/" 表示整除

         * nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个

         * nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个

         * 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个

         * 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素

         * 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组

         * 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组

         * 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数

         */

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
        int totalLength = length1 + length2;
        if (totalLength % 2 == 1) {
            int midIndex = totalLength / 2;
            double median = getKthElement(nums1, nums2, midIndex + 1);
            return median;
        } else {
            int midIndex1 = totalLength / 2 - 1, midIndex2 = totalLength / 2;
            double median = (getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1)) / 2.0;
            return median;
        }
    }

    public int getKthElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
        int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
        int index1 = 0, index2 = 0;
        int kthElement = 0;
        while (true) {
            // 边界情况
            if (index1 == length1) {
                return nums2[index2 + k - 1];
            }
            if (index2 == length2) {
                return nums1[index1 + k - 1];
            }
            if (k == 1) {
                return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }
            
            // 正常情况
            int half = k / 2;
            int newIndex1 = Math.min(index1 + half, length1) - 1;
            int newIndex2 = Math.min(index2 + half, length2) - 1;
            int pivot1 = nums1[newIndex1], pivot2 = nums2[newIndex2];
            if (pivot1 <= pivot2) {
                k -= (newIndex1 - index1 + 1);
                index1 = newIndex1 + 1;
            } else {
                k -= (newIndex2 - index2 + 1);
                index2 = newIndex2 + 1;
            }
        }
    }
}