Linear Regression (Least Square Regression)

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首先通过某种学习算法训练已有的数据，得到function  h。H叫做hypothesis。给定x值，它可以预测对应的y值。举个例子，x可以是住房的面积，y是房子的价格。当你给h输入任意一个面积值，他就可以预测出这个房子价值多少钱。

当输出Y的值是连续性的时候，这个问题叫做regression。

当输出Y的值是离散性的时候，这个问题叫做classification。

 

上面的例子大致符合线性的关系（房子价格大致和面积成线性关系）。

Linear Regression就是一种可以解决如上问题的监督学习算法。

假设有如下数据，x轴是房子面积，y轴是房子价格。假设我们用Least square的方法，实际上就是求一条直线，它可以让每个点数据到直线距离的平方的和最小。

如果是上面的例子，x 是一维的（房子面积），那么H可以写成：

如果房子价格不仅仅依据房子面积，同时也依据房子的房间数，那么H可以被写成：

如果假设x0等于 1，那么这个式子就可以写成：

H(x)是预测的值，y是真实的值，我们就是要找到一个Ө，使两者差的平方最小。

 

写成公式的话，Cost Function可以定义成：

我们的目标就是计算出一个Ө值，使J最小。

 

下列方法可以解决这个问题：

 

Gradient Descent：

这个算法理解起来很简单，首先初始化一个Ө值。之后望向四面八方，看那条路可以接近正确的值就向那个方向迈一步。更新Ө值，再重复上面过程，直到J的值不怎么变化为止。数学表达为：

当然上述算法有可能得到的只是local minimum。所以重复几次上面的过程，用不同的初始值，如果得到相同的结果，那么就可以认为当前的Ө值可以让J最小。

 

Stochastic Gradient Descent (Incremental gradient descent)

前面的方法，需要处理完所有的训练数据之后才会每次更新一次Ө，如果训练数据很多的话，就会变得很慢。Stochastic Gradient Descent每处理完一个训练数据，就会立即更新Ө。在某种程度上，这可以提高程序的效率。

 

The Normal Equation

这种方法不需要经过任何循环，也不需要假设初始值。虽然推导本身有点复杂，但是结果一步到位，简单又效率。非常牛逼的方法啊。

我刚看完这个推导之后，不得不佩服那些数学家，居然可以如此简单的算出上述需要循环才能得到的复杂的结果。唉，感叹一下数学之美。

 

准备工作：

定义function f(A)：Mapping from M-by-n matrices to the real numbers。

定义f(A)的微分为：

 

定义trace operator。对于一个n by n的matrix A， the trace of A is:

 

Trace有如下特性：

如果a是一个real number， 那么tr a = a

矩阵微分有如下特性：

 

开始推导：

首先，设计一个m行n列的（实际上是n+1列，应为我们假设x0 =1 ）矩阵X，他的每一行都是一个training sample，每列都是一个特征。

 

设计y成为一个m列的目标值（输出值）向量，也就是房子的价格在我们例子中。

因为：

所以：

因为对于一个向量z来说：

所以：

 

最后我们用之前提到的矩阵微分特性的第二和第三条：

 

所以：

 

因为我们要让J最小，所以J的微分必须等于0。

所以：

 

这就是最后的结果了。非常简单明了也很容易实现出来。

需要注意的是，当你实现的时候，记得把数据X最右边加上全部是“1”的一列，因为我们前面的时候假设

X0 = 1。

下图是Matlab的结果：

 

"x"是原始数据，蓝线是用Matlab的polyfit（）方法算出来的linear regression。红圈就是用normal method计算出来的预测值，可以看到他们全部都完美的对齐在蓝线上。

 

不记得在哪里看到的了，有人说，当数据量过大的时候normal equation method会变得不稳定。QR Factorization是一种更好的方法。