LA@特征值和特征向量基本概念和计算方法

特征值理论

• 工程技术中的一些问题,例如振动和稳定性问题,常归结为:求解一个方阵的特征值和特征向量问题
  • 常常需要寻求数$\lambda$和非零向量$\alpha$,使得$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha ,(\alpha \ne 0)$
    • 一般特征值和特征向量是成对存在的,在概念上,是相互依赖地同时定义出来
• 数学中的方阵对角化和解微分方程组等问题也需要用到特征值理论

特征值和特征向量定义

• 设$\mathbf{A}$是$n$阶方阵,若存在数$\lambda$和$n$维非零列向量$\alpha (\alpha \ne 0)$,满足$A\alpha =\lambda \alpha$(1),则$\lambda$称为$\mathbf{A}$的特征值,非零向量$\alpha$称为$\mathbf{A}$对应于$\lambda$的一个特征向量

• 其中,方程(1)可以改写为:

  • $\lambda \alpha -\mathbf{A}\alpha =0$,即$(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})\alpha =0$(2)
  • 或者$\mathbf{A}\alpha -\lambda \mathbf{E}=0$即:$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\alpha =0$(2.1)
  • 显然,方程(2)两边同时乘以$-1$,即得到$(2.1)$
  • 两个方程的系数矩阵的关系为分别为${\mathbf{B}}_1=\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}$,${\mathbf{B}}_2=\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}$,$-{\mathbf{B}}_1={\mathbf{B}}_2$,$|-{\mathbf{B}}_1|=|{\mathbf{B}}_2|$,$(-1{)}^n|{\mathbf{B}}_1|=|{\mathbf{B}}_2|$
  • ${\mathbf{B}}_1\mathbf{x}=0$有非零解的条件是$|{\mathbf{B}}_1|=0$,这等价于$|{\mathbf{B}}_2|=0$,还等价于${\mathbf{B}}_2\mathbf{x}=0$有非零解
  • 因此只需要任意选择(2),(2.1)中的一个研究即可,效果等价

• 例如选择方程(2)进行研究,其可以抽象为一个齐次线性方程:$(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$(3)

• 但是实际上求解特征值和特征向量时,我推荐用:$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})=0$(4),特别是$\mathbf{A}$的阶数较大时.

• 为了全面性,下面分别用(3),(4)推理和求解相关问题

特征多项式

• 方程$(3)$是一个含$n$个未知数和$n$个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$

  • 记系数矩阵为$f(\lambda )=|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|$

  • 若记$\mathbf{B}=\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}$,则方程(4)可以作$f(\lambda )=|\mathbf{B}|=0$

  • 设$n$阶方阵$A=(a_{ij})$,则$f(\lambda )$可以展开为:

    • − A = ( − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 ⋯ − a n n ) λ E = ( λ 0 ⋯ 0 0 λ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ ) -\bold A=\begin{pmatrix} -a_{11}& -a_{12}& \cdots&-a_{1n} \\ -a_{21}& -a_{22}& \cdots&-a_{2n} \\ \vdots& \vdots& &\vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots&-a_{nn} \\ \end{pmatrix} \\ \lambda{\bold E}= \begin{pmatrix} \lambda& 0& \cdots&0 \\ 0& \lambda& \cdots&0 \\ \vdots& \vdots& &\vdots \\ 0& 0& \cdots&\lambda \\ \end{pmatrix} −A= ​−a11​−a21​⋮−an1​​−a12​−a22​⋮−an2​​⋯⋯⋯​−a1n​−a2n​⋮−ann​​ ​λE= ​λ0⋮0​0λ⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λ​ ​

    • f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 λ − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 ⋯ λ − a n n ∣ f(\lambda)=|\bold{\lambda{E}-A}|= \begin{vmatrix} \lambda-a_{11}& -a_{12}& \cdots&-a_{1n} \\ -a_{21}& \lambda-a_{22}& \cdots&-a_{2n} \\ \vdots& \vdots& &\vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots&\lambda-a_{nn} \\ \end{vmatrix} f(λ)=∣λE−A∣= ​λ−a11​−a21​⋮−an1​​−a12​λ−a22​⋮−an2​​⋯⋯⋯​−a1n​−a2n​⋮λ−ann​​ ​

    • $f(\lambda )$是$\mathbf{A}$的特征多项式,它是关于$\lambda$的$n$次多项式

特征方程

• $\mathbf{A}$的特征方程可以写作:$f(\lambda )=0$(4)

征值的计算(行列式计算)

• 显然,$\mathbf{A}$的特征值就是特征方程的解;(有$n$个复数解,重根按重数计)

特征值的个数

• 代数学基本定理：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有$n$个复数根(重根视为多个根)
• 根据代数学基本定理,特征方程在复数范围内的解个数为方程的次数$n$(若有重根则累计重数)
• 因此$n$阶矩阵$\mathbf{A}$在复数范围内有$n$个特征值

计算方阵的特征向量(齐次线性方程组的解)

• 设解特征方程$f(\lambda )=0$的全部根为${\lambda }_i,i=1,2,\cdots ,n$

• 对于每个${\lambda }_i$,构造并求解对应的齐次线性方程组${(\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$

  • 不妨记方阵${\mathbf{B}}_i={\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A}$,便于讨论
  • 求特征向量齐次线性方程${\mathbf{B}}_{\mathbf{i}}\mathbf{x}=0$(5)一组基础解系:$S_i={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{s_i}$,$s_i=n-r_i$其中$r_i$是方程(5)的系数矩阵的$B_i$的秩
  • 则方阵A关于${\lambda }_i$的全部特征向量表示为$\sum _{j=1}^{s_i}{k}_j{\alpha }_j$

特征值和特征向量的数量关系

1. 特征向量与其对应的特征值数量关系

   • 若${\lambda }_0$是$\mathbf{A}$的特征值,则$\mathbf{A}\alpha ={\lambda }_0\alpha$

   • 其特征向量线性方程组$(\lambda \mathbf{E}-A)x=0$的系数矩阵$B=(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})$的行列式$|\mathbf{B}|$取值是否为0对应不同情况

     • $|B|=0$时,${\lambda }_0$的特征向量有无穷多个
     • $|\mathbf{B}|\ne 0$时,${\lambda }_0$对应的特征向量仅一个

2. 特征值被特征向量唯一确定(一个特征向量只能属于一个特征值)

   • 但这不是说不同的特征向量一定对应于不同的特征值,类似于函数,每一个自变量取值都唯一对应于一个函数值,不同自变量的函数值没有制约关系:$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$,$f(x_1)=f(x_2)$
   • 证明:
     • 假设对于给定的向量${\alpha }_0$,数${\lambda }_1,{\lambda }_2$,方阵$\mathbf{A}$满足:$\mathbf{A}{\alpha }_0={\lambda }_i{\alpha }_0,i=1,2$
     • 显然:${\lambda }_1{\alpha }_0={\lambda }_2{\alpha }_0=\mathbf{A}{\alpha }_0$
     • $({\lambda }_1-{\lambda }_2){\alpha }_0=0$
       • 又因为${\alpha }_0\ne 0$,所以${\lambda }_1-{\lambda }_2=0$
       • 所以${\lambda }_1={\lambda }_2$
     • 所以给定${\alpha }_0$,$\mathbf{A}$的特征值是唯一确定的

例

• $$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

• 上述等式链告诉我们,矩阵

  • $$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)作用在向量\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right) \\ 上的效果和常数4作用在\alpha 上的效果在乘法上是一样的 \end{gathered}$$

    • 也就是说,矩阵左乘特征向量的结果和特征向量左乘特征向量的结果一样

例

• 设$A^2=A$,证明A的特征值为0或1

  • $$\begin{gathered} A\alpha =\lambda \alpha \\ {A}^2\alpha =A(A\alpha )=A\lambda \alpha =\lambda (A\alpha )=\lambda (\lambda \alpha )={\lambda }^2\alpha \\ 又A^2=A;A^2\alpha =A\alpha =\lambda \alpha \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} \therefore {\lambda }^2\alpha =\lambda \alpha \\ ({\lambda }^2-\lambda )\alpha =0,\alpha \ne 0 \\ {\lambda }^2-\lambda =\lambda (\lambda -1)=0 \\ \lambda =0或1 \end{gathered}$$

• 方法2:

  • $$\begin{gathered} 同时对A\alpha =\lambda \alpha 左乘A: \\ {A}^2\alpha =\lambda (A\alpha ) \\ A\alpha ={\lambda }^2\alpha \\ \lambda \alpha ={\lambda }^2\alpha \end{gathered}$$

  • 其余和方法1一致

例:计算方阵的特征值及其对应的特征向量

• 这里使用方程(4)来推理

• 求矩阵$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$的特征值和特征向量

• 按方程(4)构造特征多项式$f(\lambda )=\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}$= ∣ 3 − λ − 1 − 1 3 − λ ∣ \begin{vmatrix}3-\lambda&-1\\-1&3-\lambda\end{vmatrix} ​3−λ−1​−13−λ​ ​=$(3-\lambda {)}^2-1$=$(4-\lambda )(2-\lambda )$

• 可知$\mathbf{A}$特征值有${\lambda }_1=2$,${\lambda }_2=4$

• 当${\lambda }_1=2$,对应的特征方程:${\mathbf{A}}_1\mathbf{x}=0$

  • ∣ 3 − 2 − 1 − 1 3 − 2 ∣ x = 0 \begin{vmatrix}3-2&-1\\-1&3-2\end{vmatrix}\bold{x}=\bold{0} ​3−2−1​−13−2​ ​x=0

  • 解得$x_2=x_3$

  • 可取基础解系为${\mathbf{p}}_2=(1,1{)}^T$

• 当${\lambda }_2=4$,对应的特征方程:${\mathbf{A}}_2\mathbf{x}=0$

  • ∣ 3 − 4 − 1 − 1 3 − 4 ∣ x = 0 \begin{vmatrix}3-4&-1\\-1&3-4\end{vmatrix}\bold{x}=\bold{0} ​3−4−1​−13−4​ ​x=0

  • 解得$x_2=-x_3$

  • 可取基础解系为${\mathbf{p}}_2=(-1,1{)}^T$

• 显然,${\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$是矩阵$\mathbf{A}$对应于特征值${\lambda }_i$的特征向量,则$k{\mathbf{p}}_i(k\ne 0)$也是对应于${\lambda }_i$的特征值