【力扣】62. 不同路径 ＜动态规划＞

【力扣】62. 不同路径

一个机器人位于一个 $m$ x $n$ 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？

示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3

解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

• 1. 向右 -> 向下 -> 向下
• 2. 向下 -> 向下 -> 向右
• 3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * $10^9$

题解

• 确定 dp 数组以及下标的含义
  dp[i][j] ：表示从 (0,0) 出发，到 (i, j) 有 dp[i][j] 条不同的路径。
• 确定递推公式
  想要求 dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
  dp[i - 1][j] 表示是从 (0, 0) 的位置到 (i - 1, j) 有几条路径，dp[i][j - 1]同理
  dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为 dp[i][j] 只有这两个方向过来。
• dp 数组如何初始化
  dp[i][0] 一定都是1，因为从 (0, 0) 的位置到 (i, 0) 的路径只有一条，那么 dp[0][j] 也同理。
• 确定遍历顺序
  dp[i][j] 都是从其上方和左方推导而来
• 举例推导 dp 数组（打印 dp 数组）

public class Solution {
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        //dp数组定义
        int[][] dp = new int[m][n];
        //初始化
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }

        //遍历
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}