信号完整性分析基础知识之有损传输线、上升时间衰减和材料特性（二）：损耗的来源

导体电阻和趋肤深度

信号沿信号路径和返回路径传播的串联电阻与导体的体电阻率和电流传播的横截面有关。直流时，信号导体中的电流分布均匀，电阻为：

 ρ表示电阻的体电阻率，w表示线宽，t表示导体厚度，Len表示走线长度。

返回路径中的直流电流分布，如果是平面，则通过横截面向外扩散，电阻远小于信号路径的电阻，可以忽略不计。

对于1个典型的5mil宽，1.4mil厚，1inch长的走线，信号路径上的直流电阻R=0.72*10-6x1inch(0.005x0.0014)=0.1Ohm。

铜和几乎所有其他金属的体积电阻率在频率接近 100 GHz 之前都随频率绝对恒定。乍一看，我们可能认为走线的电阻随频率保持不变。毕竟，这就是理想电阻器的行为方式。然而，如第 6 章所述，由于趋肤效应，电流将在较高频率重新分布。

在高频下，电流将在铜导体中流动的横截面的厚度大约等于趋肤深度 δ：

 f表示频率。

例如，1GHz频点下，微带线上信号路径的电流，集中在走线两侧2.1微米的厚度上。在10MHz频点下，电流集中在21微米的厚度上。这是一种粗略的近似。信号路径和返回路径上的实际电流分布可以由2D场计算。

 对于几何厚度为 35 微米的 1 盎司铜，趋肤深度对于大约 10 MHz 以上的所有频率都较薄。电流分布由电流要求驱动，以找到阻抗最小的路径，或者在较高频率下，找到环路电感最低的路径。这转化为两种趋势：每个导体中的电流希望尽可能远地散开以最小化每个导体的局部自感，同时，每个导体中相反方向的电流将尽可能靠近在一起移动以最大化两个电流之间的局部互感。

这意味着对于所有重要的信号频率分量，大多数 PC 板互连中的电流分布始终受趋肤深度限制，对于 10 MHz 以上的频率分量，电阻始终与频率相关。

信号的电阻将取决于传输电流的导体的实际横截面。在更高的频率下，电流将使用更薄的导体部分，并且电阻将随着频率的增加而增加。趋肤深度的频率相关性将导致电阻的频率相关性。需要注意的是，铜和大多数导体的电阻率随频率变化非常恒定。改变的是电流流过的横截面。在大约10MHz以上，信号路径的每长度的电阻将是频率相关的。

在这种受趋肤深度限制的电流状态下，如果电流仅在导体的下半部分流动，则导体的电阻将近似为：

R表示传输线电阻，ρ表示导体的体电阻率，Len表示传输线的长度，w表示线宽，δ表示导体的趋肤深度。

从上面的图来看，电流不仅流过导体的下半部分，即使是微带线也是如此。在导体的上方也有大量的电流，这两个区域是平行的。考虑到信号路径中的两个平行路径，信号路径的电阻可以近似为0.5*R。微带线和带状线在信号路径的电流分布非常相似。

趋肤深度是由电流走最低阻抗路径的需要驱动的，这由较高频率的环路电感决定。该机制还驱动返回路径中的电流重新分配并随频率变化。在直流时，返回电流将分布在整个返回平面上。当处于趋肤深度限制状态时，返回路径中的电流分布将集中在信号路径附近，靠近表面，以最小化环路电感。

首先，在微带线中，返回路径中电流分布的宽度大约是信号路径宽度的三倍，如上图所示。返回路径中的电阻与信号路径的电阻串联。在大约 10 MHz 以上的频率下，我们预计传输线的总串联电阻为 0.5R + 0.3R = 0.8R。微带线中信号路径的总电阻预计约为：

 

ρ表示导体的体电阻率，δ表示导体的趋肤深度。0.8的系数基于电流在信号路径和返回路径的分布。

下图比较了一个2D场仿真简单一阶模型的结果，计算了各个频点下精确的电流分布，对于如此简单的模型，低频和趋肤深度限制频率的一致性非常好。带状线单位长度的总电阻应该更低一些。

 

 基于场求解器和直流电阻和趋肤深度限制电流的简单近似，计算了5mil宽、近50欧姆微带线和带状线的电阻与频率的关系。圆形是微带，正方形是带状线，使用Ansoft的2D提取器场求解器计算。该线是直流电阻和趋肤深度限制电阻的简单一阶模型。

到目前为止，我们所指出的只是传输线中导体的串联电阻会随着频率的增加而增加。本章后面将讨论这种与频率相关的电阻如何影响损耗的问题。

电介质

空气作为理想电容器的电介质时，电容器将会有无限的直流电阻。当施加一个直流电压时，将不会有电流流过。但是，如果施加电压 V = V0 sin(wt) 的正弦波，电流的余弦波将流过电容器，具体取决于电容和频率。通过理想电容器的电流由下式给出：

I表示电容器的电流，C0表示电容器的电容，w表示角频率，V0表示施加在电容器上的正弦波电压的振幅。

在理想电容器上没有损耗机制，流过电容器的电流与电压正弦波正好反相 90 度。如果理想电容器内填充的是介电常数为εr的绝缘材料，电容会增加到C=εr*C0。

当充满理想无损电介质时，通过理想电容器的电流将增加一个等于介电常数的因数。所有电流都将与电压正好反相 90 度，材料中不会耗散功率，也没有介电损耗。

然而，真实的介电材料具有一些与之相关的电阻率。当将真实材料放置在电容器的极板之间并在其上施加直流电压时，将会有一些直流电流流过。这通常称为漏电流。它可以建模为理想电阻器。由于这两个导体之间的材料，信号导体和返回导体之间的泄漏电阻可以用平行板近似法近似为：

流经该电阻的泄漏电流量为：

Ileakage表示通过介质的泄漏电流，V表示施加的直流电压，Rleakage表示与电介质相关的泄漏电阻。ρ表示介质的体漏电阻率，σ表示介质的体漏电导率。

泄漏电流，因为它流经电阻器，所以具有与电压精确同相的电流。该电流会耗散材料中的功率并导致损耗。电阻两端电压恒定时，其消耗的功率为：

 P表示消耗功率，V表示流过电阻的电压。

对于绝大多数的电介质，体电阻率非常高，达到了10-12Ohm-cm，所以对于一个10inch长，阻抗为50Ohm，线宽为两倍介厚的传输线来说，穿过的体电阻非常高，基本上达到了10-11Ohm。通过该电阻产生的直流功率损耗将是微不足道的，或者小于 1 nWatt。

然而，对于大多数材料，材料的体泄漏电阻率与频率有关，频率越高越小。这是由泄漏电流的来源决定的。

有两种方法可以通过电介质获得泄漏电流。首先是离子运动。这是直流电流的主要机制。大多数绝缘体中直流电流低的原因是移动电荷载流子（即大多数绝缘体中的离子）的密度非常低，并且它们的迁移率低。相比之下，金属中的自由电子具有高密度和非常高的迁移率。

电流在电介质中流动的第二种机制是材料中永久电偶极子的重新定向。当在电容器两端施加电压时，会产生电场。该场将导致电介质中一些随机定向的偶极子与场对齐。偶极子的负端向正电极和偶极子的正端向负电极的初始运动看起来像通过材料的瞬态电流。如下图所示。

 当外场发生变化时，电介质中永久偶极子的重新定向实际上是通过电介质的交流电流。

当然，电荷移动，偶极子只旋转很短的距离和很短的时间。如果施加的电压是正弦波，则偶极子将以正弦曲线来回旋转。这种运动会产生交流电流。正弦波频率越高，电荷来回旋转的速度越快，电流也越大。电流越高，该频率下的体积电阻率越低。材料的电阻率随着频率的增加而降低。

材料的电导率恰好是电阻率的倒数，σ = 1/ρ。正如体电阻率与材料抵抗电流的能力有关一样，体电导率与材料传导电流的能力有关。更高的电导率意味着材料的导电性更好。

电介质的体电阻率随频率降低，体电导率随频率增加。如果偶极子的运动能够跟随外加场并针对相同的外加场移动相同的距离，则它们产生的电流和材料的体积电导率将随频率线性增加。

大多数电介质的行为都是这样的：它们的电导率从直流电开始一直保持不变，直到达到某个频率，然后它开始增加并继续增加，与频率成正比。图 9-9 显示了 FR4 材料的体积电导率，其转变频率约为 10 Hz。

在高于该过渡频率的频率下，偶极子的运动起着重要作用，随着频率的增加，通过实际电容器的漏电流可能非常高。该电流将与电压同相并且看起来像一个电阻器。在更高的频率下，漏电阻会下降，耗散的功率会上升，导致电介质升温。

实际上，偶极子的旋转将电能转化为机械能。偶极子与相邻偶极子和聚合物主链其余部分的运动摩擦会导致材料轻微升温。

正常情况下实际吸收的热能很小，导致的温升可以忽略不计。对于之前的 10 英寸长、50 欧姆微带线，即使在 1 GHz 下，电介质的泄漏电阻也小于 1 kOhm，耗散的功率小于 10 mW。然而，介电损耗并不总是如此。值得注意的例外是微波炉。 2.45 GHz 辐射从微波中的电能转换为机械运动，并通过水分子的旋转产生热量，从而强烈吸收辐射。

在传输线中，电介质的偶极子会从信号中吸收能量，导致远端的信号变小。这些能量不足以使介质变热，但足以引起信号上升时间退化。频率越高，交流泄漏电导率越高，电介质中的功耗也越高。