【学习笔记】超复数

这是一篇会不断补充、完善的学习笔记。

超复数 hypercomplex number

超复数是一种推广的复数。哈密顿把复数加以推广，引进了四元数。这种推广了的复数，就是一种超复数。

结合普通的复数，很容易理解以下内容。

1 定义

$A=a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$是一个超复数。
$a=|A|=(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2{)}^{1/2}$称为超参数$A$的模。
$i,j,k$称为超参数$A$的第一、第二、第三维虚单位。

2 相关性质

2.1 超复数相等

设两个超复数$A=a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$和$B=b_0+b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k$。
(1)$A=B\iff a_n=b_n(n=0,1,2,3)$
(2)$m(a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)=m{a}_0+m{a}_{1}i+m{a}_{2}j+m{a}_{3}k$，$m$为实数。

2.2 共轭超复数

设超复数$A=a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$，$\bar{A}=a_0-a_{1}i-a_{2}j-a_{3}k$是$A$的共轭超复数。

$$|A|=|\bar{A}|,\bar{A}=\bar{B}\iff a_n=b_n(n=0,1,2,3)$$

2.3 乘法法则

两个超复数$A=a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$和$B=b_0+b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k$的积

$$\begin{array}{rl}AB& =[a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k][b_0+b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k]\\ & =\cdots \\ & =a_0{b}_0-a_1{b}_1+(a_0{b}_1+b_0{a}_1)i\end{array}$$
即常规复数乘积。

3 三角表示式

设超复数$A=a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$称$u,v,w$为$A$的第一、第二、第三角。
$a_0=a\cos u\cos v\cos w$，$a_1=a\cos u\cos v\sin w$，$a_2=a\cos u\sin v$，$a_3=a\sin u$。

$$\begin{array}{rl}A& =a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\\ & =(a,u,v,w)\\ & =a(\cos u\cos v\cos w+i\cos u\cos v\sin w+j\cos u\sin v+k\sin u)\end{array}$$

一些结论

设两超复数$A=(a,u_1,v_1,w_1),B=(b,u_2,v_2,w_2)$，实数$m$，则
(1) $m(a,u_1,v_1,w_1)=(ma,m{u}_1,m{v}_1,m{w}_1)$
(2) $(a,u_1,v_1,w_1)(b,u_2,v_2,w_2)=(ab,u_1+u_2,v_1+v_2,w_1+w_2)$
(3) $(a,u_1,v_1,w_1)/(b,u_2,v_2,w_2)=(a/b,u_1-u_2,v_1-v_2,w_1-w_2)$
(4) $(a,u_1,v_1,w_1{)}^n=(a^n,n{u}_1,n{v}_1,n{w}_1)$
(5) 设超复数$A=(a,u,v,w)$的共轭超复数$\bar{A}=(a,-u,-v,-w)$，则
$(\bar{A}{)}^n$是$A^n$的共轭超复数。
(6) 设超复数$A=(a,u,v,w)$，$f(A)=c_0+c_{1}A+\cdots +c_n{A}^n$，$c_j(j=0,1,\cdots n)$为实数，则$f(\bar{A})$是$f(A)$的共轭超复数。

对于(6)，有一种简单理解方法：我们可以将$\bar{A}$带入$f(A)$中，可以得到：
$$\begin{array}{rl}f(A)& =c_0+c_{1}A+\cdots +c_n{A}^n\\ & =c_0+c_1(a,u,v,w)+\cdots +c_n(a^n,nu,nv,nw)\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}f(\bar{A})& =c_0+c_1\bar{A}+\cdots +c_n(\bar{A}{)}^n\\ & =c_0+c_1(a,-u,-v,-w)+\cdots +c_n(a^n,-nu,-nv,-nw)\end{array}$$

不难看出，其四元组绝对值完全对称， 三个角度互为相反数。做空间加法后，$f(A)$、$f(\bar{A})$的关系和$A$、$\bar{A}$相似，即为共轭关系。