编程题四大算法思想（三）——贪心法：找零问题、背包问题、任务调度问题
文章目录
- 贪心法
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- 找零问题（change-making problem）
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- 贪心算法要求
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- 基本思想
- 适合求解问题的特征
- 背包问题
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- 0/1背包问题
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- 0/1背包问题——贪心法
- 分数背包问题
- 任务调度问题
贪心法
我在当前情况下，我把我做到最好。我也不管全局如何，整体如何。我就考虑我现在的这一个，或者这一小部分怎样最好。
- 贪心技术是一种设计算法的通用策略。
- 贪心技术的基本思想：
- 基于贪心选择准则，每次得到局部最优的选择。
- 希望利用局部最后得到全局最优解。
- 贪心选择性质：局部最优可以得到全局最优。
- 找到正确的贪心选择准则是设计贪心算法的关键。
- 不同的贪心选择准则可以得到不同的结果。
打个比方，我现在有几种选择：
学编程、打游戏、读书、去外面玩、去兼职、……
如果我的目的是提高自己的知识水平，那起码对于现在的这些选择来说，我选择“学编程”或者“读书”就是最优的。
只是说当前这一步怎么走是最优的，也并没有去管后面的路怎么走。
比如你说选择“打游戏”，后面可能也会更成功，但是不管这个。
找零问题（change-making problem）
- 给定无限多不同面额的硬币 d 1 > . . . > d m d_1>...>d_m d1>...>dm，对于总额 n n n，如何找到最少的硬币数目？
- 问题：目标函数和约束条件是什么？
例如：
d 1 = 25 c , d 2 = 10 c , d 3 = 5 c , d 4 = 1 c ，而且 n = 48 c d_1=25c,d_2=10c,d_3=5c,d_4=1c，而且n=48c d1=25c,d2=10c,d3=5c,d4=1c，而且n=48c。
我们可能想，要使得硬币数目最少，那简单啊。
先紧着面额最大的来凑就行了。
先拿个25c的、再拿两个10c的，5c的没法拿，于是再拿3个1c的。
于是得到贪婪解：
<1,2,0,3>。我们这个策略就是，很简单，先紧着最大的拿。
但是我们虽然这样做了，而且貌似可行。
但是实际上，它对于大多数情况而言，这样可能是没问题的；但是没法保证所有情况啊，你没法保证对于所有情况、任意某一种情况，这样都没问题。
有一些情况，你这样做，可能就压根不是最优解了。
但是：
- 对大多数常用的硬币面额都可以得到最优解。
- 对任意硬币面额，有可能不是最优解。
例如：
d 1 = 25 c , d 2 = 10 c , d 3 = 1 c 而且 n = 30 c d_1=25c,d_2=10c,d_3=1c而且n=30c d1=25c,d2=10c,d3=1c而且n=30c。
那么你还按照上面的规则，
先拿个25c的，然后拿五个1c的。——此时是6个硬币。
但实际上我们可以看出，直接拿三个10c的就够了，而且只用3个硬币。
所以可见，我们刚才的那种简单的想法：先紧着大面额的拿。
这种方法，可能在某些情况下没毛病，但是在有些情况下就不对了、不是最优解了。
**那咋办呢。**是不是我的想法、我的策略设计的有问题呢？
那到底咋样弄，才能对于所有情况都能得到最优解呢？
我们可以用回溯法。（不是讲贪心吗，咋又说回溯了？——后面再说这个问题）
- **贪婪法：**建议通过一系列步骤来构造问题的解，每一步对目前构造的部分解做一个扩展，直到获得问题的完全解。（完全解，不是最优解）
- 必须满足：可行、局部最优、不可取消。
贪心算法要求
- 可行的：即它必须满足问题的约束。
- 局部最优：它是当前步骤中所有可行选择中最佳的局部选择。
- 不可取消：即选择一旦做出，在算法的后面步骤中就无法改变了。
就像人生中的一些选择一样，就是贪心算法么，每次选的是局部最优，而且选了之后就没法取消了。
在每一步中，它要求“贪婪”地选择最佳操作，并希望通过一系列局部的最优选择，能够产生一个整个问题的（全局的）最优解。
基本思想
- 从问题的某一个初始解出发，通过一系列的贪心选择（当前状态下的局部最优选择），逐步逼近给定的目标，尽可能快地求得更好的解。
- 在贪心算法（greedy method）中也采用逐步构造最优解的方法。在每个阶段，都做出一个按某个评价函数最优的决策，该评价函数最优称为贪心准则（greedy criterion）。
- 贪心算法的正确性，就是要证明按贪心准则求得的解是全局最优解。
- 贪心算法不能对所有问题都得到全局最优解。
- 但是对于许多问题，它能够产生全局最优解。如单源最短路径问题，最小生成树问题等。
适合求解问题的特征
- **贪心选择性质：**可通过局部最优（贪心）选择达到全局最优解。
- 通常以自顶向下的方式进行，每次选择后将问题转化为规模更小的子问题。
- 该性质是贪心法使用成功的保障，否则得到的是近优解。
- 最优子结构性质：问题的最优解包含它的子问题的最优解。
- 并不是所有具有最优子结构性质的问题都可以采用贪心策略。
- 往往可以利用最优子结构性质来证明贪心选择性质。
背包问题
- 0-1背包问题
给定n种物品和一个背包。物品i的重量是 W i W_i Wi，其价值为 V i V_i Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
0-1背包问题，对于一个物品，0就是不拿它，1就是拿它。
在选择装入背包的物品时，对每种物品只有两种选择，要么装入背包、要么不装入背包。不能将一个物品装入背包多次，也不能只装入某物品的一部分。
- 背包问题
与0-1背包问题类似，所不同的是，在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。
背包问题，也叫“分数背包问题”，对于一个物品，物品太大了，背包剩余空间不够了，此时我可以把物品拆下来、把一部分放进去。
0/1背包问题
- 已知
- 背包容量C>0
- n个物品，体积 w i > 0 w_i>0 wi>0，价值 p i > 0 f o r i = 1 , . . . , n p_i>0\ for\ i=1,...,n pi>0 for i=1,...,n
- 确定 { 1 , 2 , . . . , n } \{1,2,...,n\} {1,2,...,n}的子集，满足：
m a x ∑ i ∈ A p i , s u b j e c t t o ∑ i ∈ A w i ≤ C max\sum_{i∈A}p_i,subject\ to\ \sum_{i∈A}w_i≤C maxi∈A∑pi,subject to i∈A∑wi≤C
0/1背包问题——贪心法
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有以下几种贪心选择准则：
- 最大价值优先——先选择最值钱的物品。
紧着最值钱的先往上放。
- 最小体积优先
紧着最小体积的先放，想装的多。
- 最大体积优先
想着一般大的东西都比较值钱？所以先紧着大件先放？
- 最大单位价值优先
这四个规则都有一定道理，那我们该选哪种呢？选最大价值优先？选最大单位价值优先？
- 没有一种方法能保证得到最优解
最大价值优先
（lb是重量单位，上面是价钱）
可见，最大价值优先，放进来的不一定是最优解。
最小体积优先
可见，最小体积优先，放进来的也不一定是最优解。
最大体积优先
可见，最大体积优先得到的也不一定是最优解。
最大单位价值优先
可见，这个也不一定能得到最优解。
分数背包问题
- 对于0/1背包问题，没有最优的贪心算法。
- 分数背包问题：可以将第
i个物品的一部分放入背包。 - 对于分数背包问题，贪心算法是其不二选择，该算法基于最大单位价值的选择准则。（感觉有点类似于微积分里的微元思想）
这个就没啥好犹豫的了，我先紧着最大单位价值的往里面放，放不下整个物品的时候，我把当前最大单位价值的物品切出来一块往里面放。
这样最后包里放的肯定是价值最大的情况。
- 贪心算法过程：
- 降序排序 v i / w i v_i/w_i vi/wi。
- 根据排序次序增加物品，直到这个物品装完，或是超出背包容量。
- 如果背包没有满，选择下一个物品开始装。
最优解证明
- 证明：
我们首先假设我们有一个最优解 A 1 A_1 A1，那么我们首先找到 A 1 A_1 A1里面平均价值最高的物品 a m a_m am，然后我们将用商品里面平均价值最高的物品 a 1 a_1 a1将 a m a_m am进行全部替换或者部分替换得到解 A 2 A_2 A2，又因为 v 1 w 1 ≥ v m w m \frac{v_1}{w_1}≥\frac{v_m}{w_m} w1v1≥wmvm，所以 A 2 A_2 A2的总价值高于 A 1 A_1 A1的总价值，这与 A 1 A_1 A1是最优解矛盾，于是得到 A 1 A_1 A1里面包含平均价值最高的物品。
- 小数背包问题还具有贪心选择性质，用贪心法求解更简单、更快速。
- 0-1背包问题用贪心法求解不一定能得到最优解。
任务调度问题
- 9个任务需要调度，每个任务运行时间为
3,5,6,10,11,14,15,18,20
如果只有一个处理器，那就没啥说的，每个任务看看按照什么规则往里放就行了，反正最后总时间是一样的。
但是如果有多个处理器呢？
- 有三个处理器执行这些任务。
当然，对于贪心而言，我们对这一问题也可以有很多种贪心策略。
- 贪心准则：先运行时间最长的任务。
每次把当前需要运行最长时间的任务，分配给当前任务时间最短的处理器。
因此，三个处理器执行这些任务，花费35分钟时间。
这个解决方法不错，但是我们可能还可以有更好的策略。
- 另一种贪心准则：优先运行最短任务
这个方式还不如刚才那个，这个需要花费40分钟。
最优解
折腾半天都不是最好的，那我们看看最优解到底是什么样的，如上图所示。
- 这个解为什么是最优的？
很明显么。因为三个处理器刚好平均分了所有任务的总时长，没有任何的浪费。
但是，可见，若想得到这样的一种解。你要付出的代价就会很高了。
有必要么，实际解决一个问题来说，这样去搞，可能没这个必要。你找到最优解了之后，最优解固然能够帮你节约时间；但是不要忽视了，你寻找这个最优解也要花时间。你为了找一个最优解去节约那一点点时间，然后你花了大量的时间在寻找到最优解上，得不偿失。
类似上图中这个最优解，是咋找到的？可能是暴力穷举吧，或者是什么方法。总之很耗时间才能找出来的。
实际上我就用一种贪心策略，去做，就拉倒了。虽然可能不是最优，但是接近最优差不多就行了。
对于一些特殊的问题，贪心算法能直接找出其最优解，能直接获取最优解那当然更好了。
总之贪心算法可能找到的不是最优解，而只是局部最优解；但是它的实现是很简单的，不会耗费太多时间。
同时，我们在贪心，贪的过程中，也可以利用回溯法的思想，对一些没必要继续探讨下去的情况进行剪枝，而没必要全部贪到底、再去排除。也就是贪心法配合回溯法进行使用。