四元数求导

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6. 四元数求导

1. 四元数求导（四元数/时间）

1. 四元数关于时间求导的推导 本质：
   求导的定义是函数值的微增量关于自变量的微增量的极限。表示旋转的单位四元数作差后，其不再是单位四元数，也就不是旋转四元数了。单位四元数作差后，得到是被减四元数所在空间的切空间，得到的增量是切空间的微增量，因为是旋转，所以当取极限的时候，切空间的微增量就是函数的微增量，也即四元数对应的导数。
2. 方式1
   假设任何一个旋转，一定可以写成绕一个轴旋转若干角度的形式。则四元数可以写作$q=[cos(\frac{\theta }{2}),nsin(\frac{\theta }{2})]$
   其中 $\theta$是旋转角度， $\omega$是旋转轴。我们假设 $ \overrightarrow n $是关于时间的函数，则四元数可以写成
   $$q(t)=[cos(\frac{wt}{2}),\frac{w}{w}sin(\frac{wt}{2})].............................................(0)$$
   为了书写方便，不带箭头为相应向量的模长。因为瞬时旋转中，$\omega$的旋转轴和大小我们认为是不变的，则
   $$q^{\prime }(t)=[-\frac{w}{2}sin(\frac{wt}{2}),\frac{w}{w}.\frac{w}{2}cos(\frac{wt}{2})]$$
   但常见四元数对时间的导数形式不一样，稍微调整一下：
   $$q^{\prime }(t)=[-\frac{w}{2}sin(\frac{wt}{2}),\frac{w}{w}.\frac{w}{2}cos(\frac{wt}{2})].............................................(1)$$
   到此，其实四元数关于时间的导数就已经求解完毕。
   设 两个四元数分别为$$q_1=[a_1,v_1],q_2=[a_2,v_2]..............................(2)$$
   可得四元数乘法：
   $$q_1⨂q_2=[a_1{a}_2-v_1.v_2,a_1{v}_2+a_2{v}_1+v_1{v}_2]............................(3)$$
   对比式(1)(3)，通过适凑的方式，可得，
   $$\begin{gathered} v_1=\frac{w}{2} \\ {a}_1=0 \\ {v}_2=\frac{w}{w}.sin(\frac{wt}{2}) \\ {a}_2=cos(\frac{wt}{2})..............................(4) \end{gathered}$$
   即：
   $$q_1=[0,\frac{w}{2}],q_2=[cos(\frac{wt}{2}),\frac{w}{w}.sin(\frac{wt}{2})]..............................(5)$$
   所以可得，
   $$\begin{gathered} q^{\prime }(t)=[0,\frac{w}{2}]⨂[cos(\frac{wt}{2}),\frac{w}{w}.sin(\frac{wt}{2})] \\ =\frac{1}{2}[0,w]⨂q(t) \end{gathered}$$
   该方法通适凑的方式，巧妙的将四元数求导转化对应到四元数乘法，最后转化到四元数与自身导数的数值关系。