高中奥数 2022-03-12

2022-03-12-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P043 习题11）

（W. Janous不等式推广形式）
设,.记,则对于的任一排列,有:.

证明

由对称性,不妨设,则

且.

由分部求和公式,有
$\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k}^{q}-a_{i_k}^{q}}{S^{P}-a_{k}^{p}}=\left(S^{p}-a_{n}^{p}\right)^{-1}\cdot\sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{j}^{q}-a_{i_{j}}^{q}\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left[\sum\limits_{j=1}^{k}\left(a_{j}^{q}-a_{i_{j}}^{q}\right)\right]\cdot\left[\left(S^{p}-a_{k}^{p}\right)^{-1}-\left(S^{p}-a_{k+1}^{p}\right)^{-1}\right]\geqslant 0,$
故原不等式成立.

2022-03-12-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P043 习题12）

设是正实数数列,对所有满足条件:,所有的,有.

证明

令,,则.于是
$\begin{aligned} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{j}^{2}=& \left[b_{1}^{2}+\left(b_{2}-b_{1}\right)^{2}+\cdots+\left(b_{n}-b_{n-1}\right)^{2}\right]\\ &+\left[1^{2}+(\sqrt{2}-\sqrt{1})^{2}+\cdots+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})^{2}\right]\\ &+\left[2 \cdot \sqrt{1} \cdot b_{1}+2 \cdot(\sqrt{2}-\sqrt{1}) \cdot\left(b_{2}-b_{1}\right)+\cdots+2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\left(b_{n}-b_{n-1}\right)\right] \\ \geqslant & \left[1^{2}+(\sqrt{2}-\sqrt{1})^{2}+\cdots+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})^{2}\right]\\ &+\left[2 \cdot \sqrt{1} \cdot b_{1}+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})\left(b_{2}-b_{1}\right)+\cdots+2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\left(b_{n}-b_{n-1}\right)\right]\\ \geqslant& 1^{2}+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)^{2}+\cdots+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)^{2} \\ >&\dfrac{1}{4} \cdot\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right) . \end{aligned}$

2022-03-12-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P043 习题13）

试证:对任意实数,有,其中表示不超过的最大整数

证明

令,下用数学归纳法证明:.

当时,显然成立.假设对,有,则由分部求和公式,
$\begin{aligned} n A_{n} &=\sum\limits_{k=1}^{n} k \cdot \dfrac{\left[k x\right]}{k}-\sum\limits_{k=1}^{n-1} A_{k}(k-(k+1)) \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}\left[k x\right]+\sum\limits_{k=1}^{n-1} A_{k} \leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}\left[k x\right]+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left[k x\right] \\ &=\left[n x\right]+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\left[\left(n-k\right) x\right]+\left[k x\right]\right) \\ & \leqslant[n x]+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left[\left(n-k\right) x+k x\right]\left(\text { 因为 }\left[x\right]+\left[y\right] \leqslant\left[x+y\right]\right) \\ &=n\left[n x\right], \end{aligned}$
故,命题得证.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P043 习题14）

已知,.定义,求证:

证明

如果设,则,于是可将问题转为Abel方法处理:
$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n} A_{k} a_{k} &=\sum\limits_{k=1}^{n} A_{k}\left[k A_{k}-(k-1) A_{k-1}\right] \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n} k A_{k}^{2}-\sum\limits_{k=1}^{n}(k-1) A_{k} A_{k-1} \\ & \geqslant \sum\limits_{k=1}^{n} k A_{k}^{2}-\dfrac{1}{2}\left[\sum\limits_{k=1}^{n}(k-1) A_{k}^{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(k-1) A_{k-1}^{2}\right] \\ &=\frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} A_{k}^{2}+\dfrac{1}{2} n A_{n}^{2} \\ &\geqslant \dfrac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{n} A_{k}^{2} \end{aligned}$
故

注:由此思想可以证明H"older型不等式:设,则,即类似的有:,然后可,即类似的有:,然后可证得是可使不等式成立的待定系数.此题是哈代一道不等式的初等形式.

高中奥数 2022-03-12

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