旋转矩阵左乘与右乘
先说结论：基于固定坐标系的旋转变换左乘旋转矩阵，基于自身坐标系的旋转变换右乘旋转矩阵。
推导：
固定坐标系：
该旋转方式应用的场景为：点本身不动，仅旋转坐标系。固定坐标系连续旋转场景的旋转轴均为固定坐标系的坐标轴。假设固定坐标系的坐标基（单位正交）为
，第一次相对于固定坐标系旋转相当于构造了一组新的正交基：
，则坐标转换表示为：
左右同乘
得：
其中
第二次旋转构造了一组新的正交基：
，坐标转换关系为：
左右同乘
得：
其中
则得到两次旋转的表达式：
每次旋转均左乘新的旋转矩阵，对于后续旋转依次类推。该旋转方式可以用连续的等式表示：
可以推导出：
接下来讨论相对于自身坐标系的旋转。
自身坐标系：
这种旋转方式适用的场景为每次旋转都将当前坐标系随被旋转的三维点进行旋转。设初始坐标系的坐标基为
，三维坐标使用向量表示为：
这种旋转方式本质上等同于将点同坐标系一起旋转后，用初始的坐标基进行表示，即：
注意
为旋转后的点在初始坐标系下的坐标，而旋转后的坐标系中该点坐标仍为
，而坐标基在初始坐标系中为：
接下来看第二次旋转：
注意
为
在第一次旋转后坐标系中的表示。
为第二次旋转后的坐标在第一次旋转坐标系中的坐标。而若要在初始坐标系中表示第二次旋转后点的坐标则有：
而等式右侧可表示为：
可得
因此在该场景下，连续旋转矩阵乘法为右乘，重点在于需要使用旋转矩阵将后旋转的坐标逐次转换到前一次旋转的坐标系中。
此外存在关系：
其中
和
为初始坐标系下的坐标，
和
为第一次旋转后坐标系下的坐标，得：
而
得：
因此该场景下连续旋转矩阵乘法为右乘。
推广到第二次旋转后的坐标系中，若要进行第三次旋转，则在该坐标系中旋转后的坐标为：
而第二坐标系中的P
在第一坐标系中坐标为R2P
，则P'''
在第一坐标系中的坐标为
则在初始坐标系中，
坐标为
