4. 深度学习-损失函数

• 我们知道神经网络是一种非线性模型，激活函数就是用来映射为非线性的，激活函数是保证神经网络非线性的关键。但是模型的参数我们如何求得最优组合呢？用什么评价标准呢?

1. 经验风险,期望风险,结构风险

• 如何选择最优参数和评价一组参数是最优的，这就是机器学习中的策略，也就是性能度量P,在李航的《统计学习方法》和周志华的《机器学习》中开篇都曾讲过，这里不再详细介绍。传统的机器学习的策略采用经验风险 最小化原则。要降低经验风险，就要提升模型的复杂度，但是回导致 VC 维很高(如果人类的智商水平可以用大脑的脑细胞数来衡量，那么机器的智商水平就可以用VC维比喻来衡量)。VC维高，置信风险越高，所以结构风险也就高。这就产生了过拟合现象，因此我们针对不同的问题选择不同的策略，使结构风险最小化。

• 损失函数(Loss Function)是一种用来估算实际值与模型的预测值之间的不一样程度的函数式。通常，它是一种非负值的函数，其值越小，鲁棒性就越好，模型就越稳定。损失函数是针对一个样本而言的，通过损失函数，只能知道模型的决策函数对单个样本的预测能力，但是我们要知道其对整个训练集的预测能力，甚至对新数据的预测能力。如果想知道对整个训练集的预测能力，只需要对训练样本分别损失函数的值，然后进行累加，最后求一个均值即可。这就是经验风险。

• 经验风险越小，说明模型对训练集拟合的效果好，但是对测试集(新数据)的拟合效果如何，有待商榷。那我们如何去衡量所有样本(训练集,测试集,及后期线上产生的数据)的拟合效果呢？从概率论，我们首先想到的是使用期望风险，即假设 和服从联合分布,期望风险的数学公式为：,其中；；。

• 期望风险是全局的概念，而经验风险是局部的概念。理想的模型希望期望风险最小化，但是期望风险往往不可以得到(未知的数据具有不确定性)， 和的联合分布函数不易得到。为了期望风险最小化，我们采用局部最优代替全局最优的思想，这是因为训练数据足够大，根据大数定理，经验风险应该接近期望风险，这也是经验风险最小化的理论基础。

• 如果只考虑经验风险，大多数出现过拟合的现象，考虑到期望风险，但是未知的数据不易得到和存在不确定性。两者不能兼顾也，这时该怎么办呢？这就引出了结构风险。结构风险是经验风险加上置信风险，其中置信风险是指模型对未知样本预测的误差。我们知道SVM能够在小样本上优于其他算法，就在于其优化策略使结构风险最小。

• 置信风险的影响因素有两个：训练样本数量和模型的VC维。训练样本的数量越多，置信风险就越小；模型的VC维越大，模型的假设空间就越大，模型解的种类就越多，拟合能力就越差，置信风险就越大。因此我们增加训练集的数据量和降低模型的VC维，才能降低置信风险，从而使结构风险降低。通常降低模型的VC维的做法是模型加入一个正则化项（惩罚项）。这也是为什么我们建立的模型往往要加入L1,L2范式了。

• 为了同时保证经验风险和置信风险都达到最小化，这时将两项通过一个权重系数,融合为一个式子，通过调节超参数的值，来平衡经验风险和置信风险，使结构风险最小。

• 上面说那么多，总结起来就是下面几句：

  • 经验风险是局部的。损失函数基于训练数据最小化；
  • 期望风险是全局的。损失函数基于训练数据+测试数据最小化；
  • 置信风险是损失函数基于未知样本最小化，通常增加训练数据量和加入正则化项；
  • 结构风险是经验风险+置信风险。

• 我们知道了结构风险的概念，但是我们的目的是使结构风险最小，如何让结构风险最小呢？通常我们使用目标函数，让目标函数最小化。目标函数的一般形式是,其中L是损失函数，

2. 损失函数

• 有上面的知识，我们知道要建立一个很好的模型，需要损失函数。损失函数多种多样，但是一定满足两个原则。
  • 非负性；
  • 当预测值与真实值接近时，损失函数趋于0。

2.1 0-1 损失函数

• 假设在二分类问题中，正类 ，负类 ,对于一个二分类模型。

• 定义 0-1 损失函数：

• 另一种形式：

• 0-1 损失函数的意思是，预测对的时候，函数为0，预测错的时候，函数为1。更简单的理解就是0-1函数只取决于预测值与实际值乘积的正负号。很明显0-1损失函数是一个在定义域为0时，不可导，也不是一个连续函数，更不是一个非凸函数（这里不再解释这些概念，都是数学的基础知识）。因此该损失函数在求解模型参数时，存在很多不足之处。

2.2 交叉熵损失函数

• 交叉熵损失函数是0-1函数的一种替换形式,。函数的形式如下：

2.2.1 表达式一

• 运用交叉熵损失函数的典型算法是logistic回归算法（激活函数是sigmoid函数）。logistic不用均方差函数，使用logistic是有原因的。在推到均方差误差函数的时候，我们有一个假设前提，预测值与真实值的误差是白噪声，其实就是服从正态分布(高斯分布)。为什么假设误差是个白噪声呢？这就涉及到大学所学的概率论了，根据中心极限定理，我们知道数据足够多的时候，误差近似服从正态分布。而在推到logistic算法时，它假设样本服从0-1分布(伯努利分布)，然后根据最大似然估计，求其最优解。逻辑回归没有极大化似然函数，我们将其转化为最小化负的似然函数。

• logistic(Sigmoid)表达式为：

• logistic的Log损失函数表达式：

• 我们知道，当真实值y=1时，我们希望自己的模型预测的也接近于1，即在1的附近，这时损失函数就趋于0，同理真实值y=0时，损失函数也趋于0。说明此函数满足损失函数的第二个原则。对于第一个原则，我们易知，在定义域（0,1）内小于0，但是损失函数前面有一个负号，因此该损失函数也满足非负性。

• 此处说明一下，该指数函数有的教材是以e为底，有的是以2为底，仔细想一下，每个编写教材的思考角度不一样，如果从数学推理的角度，设计算法时应该以e为底，因为自然常数e有着特殊的意义，可以推导出很多有意义的东西，比如幂级数,欧拉公式，素数定理等等。如果从计算机的角度，计算机喜欢0,1，也只识别0,1 我们使用2为底，能够加快我们的运算速度。这只是自己的浅理解，没有查看过相关文献，没有理论支撑。

• logistic的损失函数整体表达式：

• 考虑到经验风险，损失函数为：

• 上试就是交叉熵函数。

2.2.2 表达式二

• 对于sigmoid函数，有

  • 
        
        
        
        
        

• 有了上试对sigmoid函数的推导，下面就容易处理了。我们知道在二分类中，假设y的取值，正类时：,负类时：。对于sigmoid函数，我们将也放入变量中，,其损失函数的形式如下：

  • 
        
        

• 经验风险的损失函数为：

  • 
       

2.2.3 交叉熵损失函数+Sigmoid激活函数

• 有了激活函数的基础,我们知道在做二分类的时候，通常输出层选择sigmoid激活函数。现在谈谈为什么在激活函数为sigmoid下，我们要选择交叉熵损失函数，而不选择均方误差损失函数。其实有两方面原因：

  • 第一原因。先天条件不满足，sigmoid假设样本服从伯努利分布，而均方误差函数假设服从白噪声。
  • 第二个原因。sigmoid激活函数 + MSE(均方误差)损失函数收敛速度慢。这里不再陈述为何收敛速度慢，上一遍文章讲激活函数的时候，就是在MSE损失函数下，sigmoid函数为何梯度消失的问题。

• 那疑问来了，为何在交叉熵损失函数下，为何sigmoid的收敛速度快了呢？这里不再介绍过程了，这涉及到前向传播和后向传播，不是几句话能说明白的。它收敛变化的原因就是它的梯度不含有激活函数的导数，在最后一层是预测值与实际值的差，差值大的时候，梯度大些，能快速靠近收敛点差值小了，梯度小些，缓慢的靠近收敛点，防止在收敛点震荡。

2.3 对数似然损失函数

• 对数似然损失函数其实是交叉熵损失函数的推广。

• 对数似然损失函数的表达式;

  • 
       

• 常常激活函数选择softmax时，我们选用对数似然损失函数。这是因为我们在选择模型函数的时候，选择的是softmax函数。我们知道softmax激活函数，通常用来解决多分类并且类与类之间是互斥的。因此当我们的某一个样本,实际标签属于2类（假设类别有1,2,3,...）,从而只有,其他的都为0（）,导致损失函数为。

2.4 Hinge 损失函数

• 对于二分类问题，假设输出的。Hinge (合页)损失函数的表达式：
  • L(y,f(x))=max(0,1-f(x)*y)
• 运用Hinge损失函数的典型分类器是SVM算法，。我们可以知道，当预测对的时候，同号，hinge loss为0；当预测错的时候，异号，hinge loss为1。
• Hinge损失函数对判定边界附近点(错误越大的点)和离群点的惩罚力度较高，由于错分导致分类误差会很大，如此便会影响整个分类超平面的学习，从而降低模型泛化能力。

2.5 指数损失

• exp-loss主要用于以boosting思想，设计的算法，主要有AdaBoost算法和提升树(boosting tree)系列算法。
• 具体形式：

2.6 均方误差损失函数

• 均方误差损失函数较多用于回归任务，它假设样本和噪声都是服从正态分布的。它也是一个连续函数。
• MSE 公式：
• 特点：
  • 计算方便，只是平方运算，不含较为复杂的幂运算；
  • 欧氏距离是一种很好的相似度度量标准；
  • 在不同的表示域变换后特征性质不变。

2.7 绝对值损失函数

• 具体公式

• 绝对值损失和 MSE 损失类似，不同之处在于平方损失函数更平滑。绝对值损失在预测值等于真实值时，存在间断点，实际中几乎不用，因为在间断点时，损失函数不可导。

2.8 自定义损失函数

• Tensorflow 不仅支持常用的损失函数，还支持自己定义函数。因为在实际项目中，有的损失函数不适用，需要自己去定义函数。比如，在预测商品销量的时候，假设商品的成本是1元，销售价是10元，如果预测少一个，意味着少挣9元，但是预测多一个，意味着损失1元，客户希望利润最大化，那该如何选择损失函数？