一篇文章搞懂位运算

预备知识

Java、C++ 中的进制

我们最常见的进制就是十进制，当然，在计算机中最常见的就是二进制，除此之外，还有八进制、十六进制等。

为了区分不同的进制，不同进制的数会带上 不同的前缀，如下表：

进制	前缀	举例
二进制	0b	0b1001
八进制	0	01001
十进制	没有前缀默认为十进制	1001
十六进制	0x	0x1001

补码

有符号整数通常用 补码 来 表示和存储， 补码 具有如下特征：

• 正整数 的 补码与原码相同；负整数 的补码为其原码 除符号位外的所有位取反后加 1。
• 可以将 减法运算 转化为 补码的加法运算 实现。
• 符号位 与 数值位 可以 一起参与运算。

基本原理

0s 表示一串 0，1s 表示一串 1。

x ^ 0s = x      x & 0s = 0      x | 0s = x
x ^ 1s = ~x     x & 1s = x      x | 1s = 1s
x ^ x = 0       x & x = x       x | x = x

⭐️ 异或：

• 利用 x ^ 1s = ~x 的特点，可以将一个数的位级表示 翻转；利用 x ^ x = 0 的特点，可以将三个数中重复的两个数去除，只留下另一个数。

1^1^2 = 2

⭐️ 与：

• 利用 x & 0s = 0 和 x & 1s = x 的特点，可以实现掩码操作。一个数 num 与 mask：00111100 进行位与操作，只保留 num 中与 mask 的 1 部分相对应的位。

01011011 &
00111100
--------
00011000

⭐️ 或：

• 利用 x | 0s = x 和 x | 1s = 1s 的特点，可以实现设值操作。一个数 num 与 mask：00111100 进行位或操作，将 num 中与 mask 的 1 部分相对应的位都设置为 1。

01011011 |
00111100
--------
01111111

位与运算技巧

⭐️ 得到最低的那一位 1

• n & (-n) 得到 n 的位级表示中最低的那一位 1。-n 得到 n 的反码加 1，也就是 -n = ~n + 1。例如对于二进制表示 10110100，-n 得到 01001100，相与得到 00000100。

10110100 &
01001100
--------
00000100

⭐️ 去除最低的那一位 1

• n & (n-1) 去除 n 的位级表示中最低的那一位 1。例如对于二进制表示 01011011，减去 1 得到 01011010，这两个数相与得到 01011010。
• n-(n & (-n)) 则可以去除 n 的位级表示中最低的那一位 1，和 n & (n-1) 效果一样。

01011011 &
01011010
--------
01011010

移位运算

⭐️ 算术右移

• >> n 为算术右移，相当于除以 2n，例如 -7 >> 2 = -2。

11111111111111111111111111111001  >> 2
--------
11111111111111111111111111111110

⭐️ 无符号右移

• >>> n 为无符号右移，左边会补上 0。例如 -7 >>> 2 = 1073741822。

11111111111111111111111111111001  >>> 2
--------
00111111111111111111111111111111

⭐️ 算术左移

• << n 为算术左移，相当于乘以 2n。-7 << 2 = -28。

11111111111111111111111111111001  << 2
--------
11111111111111111111111111100100

mask 计算

• 要获取 111111111，将 0 取反即可，~0。

• 要得到只有第 i 位为 1 的 mask，将 1 向左移动 i - 1 位即可，1 << (i-1) 。例如 1 << 4 得到只有第 5 位为 1 的 mask ：00010000。

• 要得到 1 到 i 位为 1 的 mask，(1< 即可，例如将 (1<<4)-1 = 00010000-1 = 00001111。

• 要得到 1 到 i 位为 0 的 mask，只需将 1 到 i 位为 1 的 mask 取反，即 ~((1<<i)-1)。

⭐️ 将最高位及之后的每位都变成1

 mask |= mask >> 1;
 mask |= mask >> 2;
 mask |= mask >> 4;
 mask |= mask >> 8;
 mask |= mask >> 16;

如：对于 10000000 这样的数要扩展成 11111111，可以利用以下方法：

mask |= mask >> 1    11000000
mask |= mask >> 2    11110000
mask |= mask >> 4    11111111

常见二进制位变换操作

目的	行为	操作
去掉最后一位	101101->10110	x >> 1
在最后加一个0	101101->1011010	x << 1
在最后加一个1	101101->1011011	(x << 1) + 1
把最后一位变成1	101100->101101	x | 1
把最后一位变成0	101101->101100	(x | 1) - 1
最后一位取反	101101->101100	x ^ 1
把右数第K位变成1	101001->101101,k=3	x | (1 << (k - 1))
把右数第K位变成0	101101->101101,k=3	x & ~(1 << (k - 1))
右数第k位取反	101001->101101,k=3	x ^ (1 << (k - 1))
取末三位	1101101->101	x & 7
取末k位	1101101->1101,k=5	x & (1 << k - 1)
取右数第k位	1101101->1,k=4	x >> (k - 1) & 1
把末k位变成1	101001->101111,k=4	x | (1 << k - 1)
末k位取反	101001->100110,k=4	x ^ (1 << k - 1)
把右边连续的1变成0	100101111->100100000	x & (x + 1)
把右起第一个0变成1	100101111->100111111	x | (x + 1)
把右边连续的0变成1	11011000->11011111	x | (x - 1)
取右边连续的1	100101111->1111	(x ^ (x + 1)) >> 1
去掉右起第一个1的左边	100101000->1000	x & (x ^ (x - 1))

Java中的位操作

static int Integer.bitCount();           // 统计 1 的数量
static int Integer.highestOneBit();      // 获得最高位
static String toBinaryString(int i);     // 转换为二进制表示的字符串

C++中的位运算

int n = 22        	  //二进制为10110

cout << __builtin_parity(n) << endl;		//偶数个1，输出0；奇数个1，输出1
cout << __builtin_popcount(n) << endl;		//判断n的二进制中有多少个1
cout << __builtin_ctz(m) << endl;			//n前导0的个数, n = 0 时结果未定义
cout << __builtin_ffs(n) << endl;			//判断n的二进制末尾最后一个1的位置

LeetCode

位运算 —— 实战！！！

461. 汉明距离
136. 只出现一次的数字
268. 丢失的数字
260. 只出现一次的数字 III
190. 颠倒二进制位
231. 2 的幂 / 342. 4的幂
693. 交替位二进制数 / 476. 数字的补数
371. 两整数之和
318. 最大单词长度乘积
338. 比特位计数

注：仅供学习参考，如有不足，欢迎指正！！！