最长子序列问题

[NOIP1999] 导弹拦截

SOL1：

记 $f_i$ 表示第 $i$ 项结尾的 LDS 长度。

$$f_i=\underset{j<i,a_j\ge a_i}{\max }{f}_j+1$$

朴素做是 $O(n^2)$ 的。代码。

显然可以 BIT 优化。代码。

SOL2：

$f_i$ 表示长度为 $i$ 的 LDS 中最后一项的最大值。$len$ 表示当前 LDS 长度。

对于元素 $a_i$，其可能产生以下贡献：

• $f_{len}\ge a_i$，可以贡献一个更长的 LDS。
• $f_{len}<a_i$，找到 $f$ 中第一个小于 $a_i$ 的元素并替换。

代码

[SDOI2011] 拦截导弹

三维偏序的 LDS。详见我的博客 CDQ 分治。

iai 最长上升子序列

本题有三问：LIS 长度、可能在 LIS 的元素个数、一定在 LIS 的元素个数。前两问维护 $i$ 的前后缀 LIS 即可。

第三问我们考虑反面，什么时候 $i$ 不一定在 LIS 中。

SOL1：

构成 LIS 的元素的前缀连续增，后缀连续减。对于一个 “可能在” 的 $i$，若存在一个与其前后缀均相同的 $j$，那么 $i$ 不一定在 LIS 中。容易维护某一对前后缀的出现次数。

代码

SOL2：

如果 LIS 的走线经过了 $i,j$，那么 $[i+1,j-1]$ 之间的元素肯定不是 “一定在” 。对于每个 “可能在” 的 $i$，找最远的 $j$，满足 $a_j>a_i$ 且 $j$ 为最大后缀。特别的，我们需要考虑不存在这样的 $j$ 的情况，可以通过在首尾增加无穷大和无穷小来实现。虽然后缀并不具有单调性，但 LIS 相同的元素后缀一定具有单调性，考虑对不同 LIS 长度建表后二分查找。

iai 最长上升子序列（二）

原题是 CF809D。

记 $f_i$ 表示长度为 $i$ 的 LIS 的最小结尾。

为保证保证 $[l_i,r_i]$ 中仅有一个数，可以将 $l_i$ 到 $r_i$ 间的数倒序构成新序列，此时的 LIS 即为最终答案。

先考虑最长不降子序列。对于新加入的区间 $[l,r]$，对于 $f$ 来说应将第一个大于 $r$ 的数删去并插入 $l$，这个过程容易用 multiset 实现。

再考虑最长上升子序列。