亦师亦友（1）

六年级在复习平行与垂直时，灵机，我们研究了对顶角、三线八角的问题，初次浪漫感受了欧氏几何的魅力。在欧氏几何的大厦里，几位孩子一发不可收拾，利用课余时间我们又研究了关于三角形全等的问题。这些爱动脑子的孩子，又发出了疑惑，平行线性质和三角形全等可以解决哪些问题呢？于是一个漫长的探索便开始了。

前几天我们在复习几何时，我们已经根据图形的运动验证常见四边形的一些性质，那么接下来，我们就一起严谨的推理证明一下吧。首先，我们一起证明了关于平行四边形的性质，具体的成果我们已经写成了小论文，今天我们就聚焦距平行四边形之后的研究吧。

洋独立研究了正方形的性质，他猜想正方形的对角线相互垂直且平分，如下：

正方形的对角线相互平分

正方形的对角线相互垂直

基于丹洋的挑战我们展开了以下的对话：

宋：你研究的是什么图形的性质？

洋：正方形的性质。

宋：那么你的已知从头到尾都没有提及正方形合适吗？

洋：难道应该是已知四边形ACDB是正方形。（最好再加一句AD与CB交与点O。）

师：你猜想正方形的对角线相互平分，你认为需要吗？

洋：哦！不需要，因为昨天我已经证明过平行四边形的对角线相互平分，而正方形是特殊的平行四边形，所以正方形的对角线一定相互平分。

师：另外，这是已知吗？

洋：不是，应该是因为四边形ACDB是正方形，所以AC=BD。这个昨天已经证明过了，平行四边形的对边相等，那么正方形肯定也有这个特点。

师：直接用∠A和∠D来表示你想表示的那两个角合适吗？

洋：不合适，以A为顶点的角有三个呢，这样表示的话，并不知道我想说的是哪个角，所以我可以直接用一个数字表示。

师：通过证明全等去证明这两个角相等，麻烦吗？

洋：这两个角是对顶角，所以一定相等。

师：你在已知里只说明了AB=AC,并没有说CD=BD呀？

洋：因为它是正方形，所以它的四条边肯定相等呀。

师：你再回忆一下我们正方形的定义是什么？

洋：有一组邻边相等的长方形是正方形，哦，我明白了，我需要先证明正方形的四条边是否相等，再去证明这个问题就更好了。

师：对的，你的想法是正确的。另外，你认为我们先研究了平行四边形的性质，再研究哪个图形的性质更好。

洋：长方形。那么我就可以基于我研究出来的平行四边形的性质去研究长方形的性质，如，四个角都是直角，两条对角线相等。

师：然后你就可以基于平行四边形和长方形的这些性质去研究正方形的哪些性质了？

洋：正方形的四条边都相等，正方形的两条对角线相互垂直。

简单讨论后，丹洋开启了他的再深造，期待他的论文......