2020 杭电多校第三场 H Triangle Collision(反射套路 + 绕点旋转 + 矢量

2020 杭电多校第三场 H. Triangle Collision(反射套路 + 绕点旋转 + 矢量分解)

大意：给出一个等边三角形 ， 以底边中线建立坐标系 ， 给出三角形中一点 ， 和其初始速度 ， 小球在等边三角形中做完全弹性碰撞 ， 问其恰好碰撞 k 次的时间。

解法：

trick1: 反射套路

对于这样一个反射套路题 ， 如果模拟在一个三角形内模拟碰撞的话 ， 显然不现实 ，所以我们可以根据反射原理 ， 将路径变成一条直线。这样问题就变成了射线在下图中的交点个数问题。

trick2: 我们不妨先思考水平直线相交个数如何求。假设运动实现为 t 那么显然交点个数就是

$$abs(floor(\frac{y+v_{y}t}{h}))$$

对于另外两种直线 ， 我们要求相应坐标系下的 y 和 vy

对于 y(标量) 的求法有两种 ， 第一种是用点到直线的距离公式 ， 但是点到直线距离公式中有除法 ， 误差很大 ， 所以精度不够。

第二种方法是我们可以把操作转化成绕三角形中心旋转坐标系 ， 对应点的坐标也绕中心旋转后即是答案。

trick3:

对于 vy(矢量) ， 我们设立好正方向 ， 进行矢量分解即可。一定要设立正方向 ， 因为矢量是有方向的。

这样就能求得某一时刻 t 穿过点数量 ， 二分一下 t 即可。

#include
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define int long long
const int N = 2e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef pair<int,int>PII;

//--------------------------------------------------------------
const double eps = 1e-5;
const double pi = acos(-1);
inline double sqr(double x) {return x * x;} //平方
int sign(double x){
	if(fabs(x) < eps) return 0;
	if(x > 0) return 1;
	return -1;
}//符号
struct point{
	double x , y;
	point(){}
	point(double a , double b) : x(a) , y(b){}
	friend point operator + (const point &a , const point &b){
		return point(a.x + b.x , a.y + b.y);
	}
	friend point operator - (const point &a , const point &b){
		return point(a.x - b.x , a.y - b.y);
	}
	friend bool operator == (const point &a , const point &b){
		return !sign(a.x - b.x) && !sign(a.y - b.y);
	}
	friend point operator * (const point &a , const double &b){
		return point(a.x * b , a.y * b);
	}
	friend point operator * (const double &a , const point &b){
		return point(a * b.x , a * b.y);
	}
	friend point operator / (const point &a , const double &b){
		return point(a.x / b , a.y / b);
	}
	//向量模长 
	double norm(){ 
		return sqrt(sqr(x) + sqr(y));
	}
}; 

//坐标轴绕某点旋转后 ， 原坐标轴下的点也会绕这个点旋转
double rotate_point(const point &a , const point &p , double A){
	double tx = p.x - a.x , ty = p.y - a.y;
	return a.y + tx * sin(A) + ty * cos(A);
}// p 点 绕 a 点逆时针旋转 A 弧度
//--------------------------------------------------------------

int t , k;
double h , x , y , vx , vy , yr , yl;

int solve(double st , double v , double t){
	return abs(floor((st + v * t) / h));
}

bool check(double t){
	int res = 0;
	res += solve(y , vy , t);//水平
	res += solve(yr , (vx * sqrt(3) - vy) / 2 , t);
	res += solve(yl , (-vx * sqrt(3) - vy) / 2 , t);
	return res >= k;
}

signed main(){

	cout << fixed << setprecision(10);
	cin >> t;
	while(t --){
		cin >> h >> x >> y >> vx >> vy >> k;
		h = h * sqrt(3) / 2;
		yr = rotate_point(point{0 , h / 3} , point{x , y} , pi / 3 * 2);
		yl = rotate_point(point{0 , h / 3} , point{x , y} , pi / 3 * 4);
		double l = 0 , r = 1e9 , mid = 0;
		while(r - l > eps){
			mid = (l + r) / 2;
			if(check(mid)) r = mid;
			else l = mid;
		}
		cout << mid << "\n";		
	}

	return 0;
}
//freopen("文件名.in","r",stdin);
//freopen("文件名.out","w",stdout);