动态规划之线性DP

1. 概念

具有线性阶段划分的动态规划算法叫作线性动态规划（简称线性DP）。若状态包含多个维度，则每个维度都是线性划分的阶段，也属于线性DP，如下图所示：

2. 三角形最小路径和

https://leetcode.cn/problems/triangle/

状态转移方程： dp[i ][j ]=max{dp[i -1][j ], dp[i -1][j -1]}+a [i ][j ]

边界条件：

最左边的部分和最右边的边界只会从是上一行的一个位置转移过来，只有1种转移方法，因此一直沿着最左边往下走和一直沿着最右边往下走的路径就是数组元素之和，先处理这两个边界

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n=triangle.size();
        int[][] dp=new int[n][n];
        dp[0][0]=triangle.get(0).get(0);
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+triangle.get(i).get(0);//初始化左边界-第一列
            dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+triangle.get(i).get(i);//初始化右边界-最后一列
        }
       
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        int ans=Integer.MAX_VALUE;
        for(int j=0;j<n;j++){//遍历最后1行 找出最大值
            ans=Math.min(ans,dp[n-1][j]);
        }
        return ans;
    }
}c	
//O(n^2)
//O(n^2)

空间优化：

根据状态转移方程dp[i ][j ]=max{dp[i -1][j ], dp[i -1][j -1]}+a [i ][j ]，求当前位置的最优解时，只需dp[i -1][j ]（上一行同列）和dp[i -1][j -1]（上一行前一列），所以将状态优化为一维数组，从后往前倒推即可

状态表示： dp[j ]表示从左上角走到第j 列时经过的数字的最大和

状态转移方程： dp[j ]=max{dp[j ], dp[j -1]}+a [i ][j ]

需要倒退的原因：

根据状态转移方程可以看出，dp[j]取决于上一行的dp[j]和dp[j-1], 如果从前往后处理，会导致dp[j-1]提前被更新，这样当前行依赖的dp[j-1]不是来自上一行，而是来自本行的更新

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n=triangle.size();
        int[] dp=new int[n];
        dp[0]=triangle.get(0).get(0);
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+triangle.get(i).get(i);
            for(int j=i-1;j>0;j--){
                dp[j]=Math.min(dp[j-1],dp[j])+triangle.get(i).get(j);
            }
            dp[0]=dp[0]+triangle.get(i).get(0);
        }
        int ans=Integer.MAX_VALUE;
        for(int i=0;i<n;i++){
            ans=Math.min(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
}

3. 最长递增子序列

https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/

思路：

创建一个dp数组

状态表示： dp[i ]表示以a [i ]结尾的最长上升子序列长度

状态转移： 对于0<=j

状态转移方程： dp[i ]=max(dp[i ], dp[j ]+1)

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n=nums.length;
        int[] dp=new int[n];
        int ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            dp[i]=1;//单个字符是长度为1的严格递增子序列
            for(int j=0;j<i;j++){
               if(nums[i]>nums[j]){
                    dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);
               }
            }
            ans=Math.max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
}
//O(n^2)
//O(n)

算法优化：

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n=nums.length;
        //tails[k]的值代表 长度为k+1的子序列尾部元素的值
        //在遍历计算每个tails[k]，不断更新长度为 [1,k]的子序列尾部元素值，始终保持每个尾部元素值最小 （例如 [1,5,3]， 遍历到元素5 时，长度为 2的子序列尾部元素值为 5；当遍历到元素 3时，尾部元素值应更新至 3，因为 3 遇到比它大的数字的几率更大


        int[] tail=new int[n];
        int maxLen=1;
        tail[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            int num=nums[i];
            int left=0,right=maxLen-1;
            boolean flag=true;
            while(left<=right){
                int mid=left+(right-left)/2;
                if(num>tail[mid]){
                    left=mid+1;
                }else if(num<tail[mid]){
                    flag=false;
                    right=mid-1;
                }else if(num==tail[mid]){
                    flag=false;
                    right=mid-1;
                }
            }
            //left表示小于num的元素个数
            tail[left]=num;//长度为left的递增子序列更新为以num结尾
            //flag为true说明nums[i]大于区间[0:maxLen-1]所有的tail[i]
            //此时可以将nums[i]接在tail[maxLen-1]后面 上升子序列长度+1
            //flag为false则将nums[i]插入到tail中的合适的位置j  使得tail[0...j-1]
            //因此tail数组是单调的
            if(flag){
                maxLen++;
            }
        }
        return maxLen;
    }
}
//O(nlogn)
//O(n)

4. 最长公共子序列

https://leetcode.cn/problems/longest-common-subsequence/

思路：

状态表示： dp[i ][j ]表示x [0..i-1 ]和y [0..j-1 ]的最长公共子序列长度

状态转移： 对两个序列中的字符xi 和yj ，可以分成以下两种情况:

• xi =yj ：求解Xi -1 和Yj -1 的最长公共子序列长度加1，dp[i ][j ]=dp[i -1][j -1]+1
  
• xi ≠yj ：可以把xi 去掉，求解Xi -1 和Yj 的最长公共子序列长度，或者把yj 去掉，求解Xi 和Yj -1 的最长公共子序列长度，取二者的最大值，dp[i ][j ]=max(dp[i ][j -1], dp[i -1][j ])
  
  边界条件： dp[i ][0]=0，dp[0][j ]=0

求解目标： dp[n -1][m-1 ]，n 、m 分别为两个字符串的长度

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m=text1.length(),n=text2.length();
        int[][] dp=new int[m+1][n+1];
        //dp[i][j]表示text1[0:i-1]  text1[0:j-1] 的LCS长度
        //当i=0时  dp[0][j]=0 表示当text1为空串时 LCS长度为0
        //当j=0时  dp[i][0]=0 表示当text2为空串时 LCS长度为0
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(text1.charAt(i-1)==text2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }else if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }else{
                     dp[i][j]=dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}
//O(mn)
//O(mn)

5. 连续子数组的最大和

https://leetcode.cn/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/

状态表示： dp[i ]表示以a [i ]结尾的最大和。注意：这个最大和不是[0…i ]区间的最大连续子段和，若求解[0…n-1 ]区间的最大连续子段和，则需要从所有dp[]中求最大值。例如{-2, 1, 2, 3,-2}，dp[0]=-2，dp[1]=1，dp[2]=2，dp[3]=6，dp[4]=4，最大连续子段和为6

状态转移： 若dp[i -1]大于或等于0，则dp[i -1]累加a [i ]即可；否则dp[i ]=a [i ]; 这是因为dp[i -1]是负值时，对求解最大连续子段和没有意义

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n=nums.length;
        int[] dp=new int[n];
        int ans=nums[0];
        dp[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[i]=Math.max(nums[i],dp[i-1]+nums[i]);
            ans=Math.max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
}
//O(n)
//O(n)