代码随想录算法训练营第41天 | ● 343. 整数拆分 ● 96.不同的二叉搜索树

文章目录

  • 前言
  • 一、343. 整数拆分
  • 二、96.不同的二叉搜索树
  • 总结

前言

动态规划


一、343. 整数拆分

  1. 确定递推公式

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?

其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j),对这个拆分不理解的话,可以回想dp数组的定义。

那有同学问了,j怎么就不拆分呢?

j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?

因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。

因为第一次会得到一个得到一个dp[i],而后每一次循环都会更新dp[i],只有大于上一次最大的dp[i],才能再次被赋值。

  1. dp的初始化

不少同学应该疑惑,dp[0] dp[1]应该初始化多少呢?

有的题解里会给出dp[0] = 1,dp[1] = 1的初始化,但解释比较牵强,主要还是因为这么初始化可以把题目过了。

严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值。

拆分0和拆分1的最大乘积是多少?

这是无解的。

这里我只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i-j; j++) {
                // 这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已,
                //并且,在本题中,我们分析 dp[0], dp[1]都是无意义的,
                //j 最大到 i-j,就不会用到 dp[0]与dp[1]
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
                // j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ,再相乘
                //而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

二、96.不同的二叉搜索树

来看看n为3的时候,有哪几种情况。

当1为头结点的时候,其右子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊!

(可能有同学问了,这布局不一样啊,节点数值都不一样。别忘了我们就是求不同树的数量,并不用把搜索树都列出来,所以不用关心其具体数值的差异)

当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊!

当2为头结点的时候,其左右子树都只有一个节点,布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊!

发现到这里,其实我们就找到了重叠子问题了,其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。

dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

根据动态规划五部曲 ,可知:

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //初始化 dp 数组
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化0个节点和1个节点的情况
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                //对于第i个节点,需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况,所以需要累加
                //一共i个节点,对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1,右子树的节点个数为i-j
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

总结

两道题代码相似;细节处找突破口。

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