通俗易懂玩高数

一、刨开定理证明的神秘面纱

数学的理论证明并不是天马行空，而是像一门手艺，只有娴熟地运用各种手法才能制作成精良的作品。而数学中的手法就是指各种定理和结论，同手艺一样，数学证明水平也是可以科学训练出来的！后面会介绍。

数学定理的证明原理其实很简单，就是用ABCDE等前置定理的排列组合来证明F定理。（这个仅限于大学高数）例如，证明Rolle定理需要用到“最值定理”、“介值定理”、“曲线上任意一点导数值的定义”。

如果你事先知道了需要这三个定理，那证明Rolle定理不还是分分钟的事情？可数学的魅力和难点正在于此，你往往并不知道需要哪些定理和定理的使用顺序。你只有直觉，感觉这个或那个定理可能对证明有帮助，可数学证明真是如此玄学吗？并不是！数学中的每个证明都有内在的逻辑！每个步骤为什么在那个位置，都是有理由的！

下面，我介绍一种锻炼自己证明数学定理技术的方法，姑且命名为“相信法”，可以简单概括为下面几四步：

想出证明定理的直观思路
列出1中思路所需要的条件
上网查找这些条件是否可以用现有的定理代替
写出完整的证明过程，并把所用到的定理记录在数据库中，视为已掌握的技能，方便以后使用。
我来解释一下上面的步骤，第一步的重点在于 “直观” 二字，在证明数学理论时，大家常会遇到这种情况：嘴上说着“这个定理一看就是成立的，你看画个图，这么一比划，不就证明了吗？”，而让动笔写下证明过程时，却无从下手，比如说证明两点之间直线最短。这个第一步所要求的直观思路就是指“嘴上王者”这个过程。

第二步的重点在于分析第一步的嘴上谈兵，将其逻辑理出来，明白要满足什么条件才能得出什么结论。

第三步就是这个锻炼方法的精髓了，之前提到过，定理的证明都是前置定理的排列组合，你要相信你在第二步列出的条件肯定是前人已经解决的，因为解题的方法大同小异（针对高中大学），你想到的，前人能想到；前人想到的，你也能想个八九不离十。你就去找有没有现成的定理来处理第二步，有就记下来，没有的话，就只能重新从第一步开始，换个思路了。

第四步的重点在于把所用到的定理给记下来，你记得越多，以后脑袋就转得越快，熟练了甚至能跳过2、3步。

二、Rolle定理的证明

定理内容

如果函数f(x)满足如下条件：

（1）f(x)在闭区间[a ,b]上连续；

（2）f(x)在开区间(a,b) 内可导；

（3）f(x)在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b) ，

那么在(a,b) 内至少有一点ξ (a<ξ

几何意义

在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平切线。（图形如下所示）

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证明过程

rolle定理证明比较直观，就是最值辅助证明，故不多做解释。

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

（1）若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

（2）若 M>m，则因为 f(a)=f(b) ，使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。（费马引理：可导函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零））

注意：rolle定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。

三、拉格朗日中值定理的证明

下面实战演练拉格朗日中值定理的证明。

先给出拉格朗日中值定理的定义：
：

• 如果函数f(x)满足：
• （1）在闭区间[a,b]上连续；
• （2）在开区间(a,b)内可导；

• 那么在开区间(a,b)内至少有一点
  image.png

• 使等式

  
  
  image.png

• 成立。
  其实通俗来讲，就是在光滑曲线上，对于任意两点所连成直线的斜率，必存在一点切线处的斜率等于所连直线的斜率。

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下面开始四步走：

1.想出证明定理的直观思路：

我这里有两种直观的思路，都可以证明：

第一种：观察上图，想要证明曲线上一点斜率等于AB，其实可以利用Rolle定理（上一篇已证），Rolle定理的图像与上图很相似，只不过角度不一样，我们如果能把上图旋转一下，不就可以直接用Rolle定理证明了！

第二种：只需证明存在一条与AB平行的直线与曲线相切

2.分析直观思路是否可行

第一种：想在数学上旋转曲线，呵呵，太难了。退一步，用矩阵乘除可以表示曲线旋转，但由于曲线由公式而非节点表示，这个计算机图形学上的旋转也靠不住，那么，怎么办？我既然提出来了，自然有应对的办法，既然旋转太难，我们就没必要非得旋转，可以找间接旋转的，那怎么找呢？就需要观察图像中的点

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处的特征（很多数学证明都是从特征处入手），我发现点

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处红蓝间虚线是极大值，又想到数学证明两个元素相等的常用套路是证明两者相减等于0，考虑到斜率相等即导数值相等，而加减并不影响每一模块的导数值计算，所以可以采用曲线减AB来生成公式，最后证明这个公式的某点的导数值为0即可。就可得出拉格朗日中值证明的标准辅助公式：

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，由于这个公式在a、b两点值相等，故用Rolle定理可证。

第二种：需要用到高中的判断相切的思路，即方程只有一个解。不太用的来这个公式编辑器，我就手写拍照过程吧：

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四、Cauchy中值定理的证明

老规矩，先来说下什么是Cauchy中值定理：

定理定义：

已知f(x), g(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)上可导，

且g’(x)在区间上非0
必定存在 a<ξ

在思考证明思路前，先让我们了解一下这个定理的几何意义，在我看来，定理证明都是从几何意义上入手，在最开始时，我自己推理这个定理的几何意义时，可费脑筋了，想了半天，还从微分、积分的角度上思考，没辙，还是一百度，发现居然是从参数方程上入手，吐！

几何意义：

若令

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，这个形式可理解为参数方程，而

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则是连接参数曲线两端点弦的斜率，

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表示曲线上某点处切线的斜率，在定理的条件下，结论可理解如下：

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用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦。

证明过程：

在知道几何意义后，证明就可以对症下药。

这里其实可以借鉴拉格朗日中值定理的证明思路，如果想证明一条直线存在平行线与曲线相切，可以用曲线减去直线，得到的式子若有斜率为0的点，则成立。证明如下图：

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五、雅可比矩阵

历史渊源

首先，要先介绍一下——多产堪比欧拉，被广泛认为是历史上三大最具运算能力的数学家之一的雅可比先生。
卡尔·雅可比
1804年12月10日，卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）出生于普鲁士的一个殷实犹太人家庭，成为家中的老二，父亲（Simon Jacobi）是一位成功的银行家。
雅可比是个聪明的孩子，幼年跟随舅舅学习古典语言和数学，12岁进入波茨坦大学预科学习，不到半年跳级到高年级，甚至在自学欧拉的《无穷小分析引论》后尝试解决五次方程式。
当时的大学并不接受16岁以下的学生，因此雅可比在1821年才得以入读柏林大学。
雅可比对哲学、数学等领域均怀有浓厚的兴趣，曾磨刀霍霍准备向“全才”发起进攻。奈何数学的磁场实在太强，最终他义无反顾地投奔了数学。（据说是因为数学最难，雅可比才选择它的╮(╯▽╰)╭）
这一投，无疑给数学史添上了浓墨重彩的一笔。
雅可比不仅天赋高，人还特别勤奋，一直不知疲倦地进行着科研与教学，让他年纪轻轻就收获了一堆荣誉。
1825年，获得柏林大学理学博士学位，并留校任教；1827年，被选为柏林科学院院士（同时是伦敦皇家学会会员，巴黎等科学院院士）；1829年，成为哥尼斯堡大学数学系的终身教授，并担任主席15年；
19世纪的数学以单复变函数为主要研究领域，而椭圆函数是其中一颗螺丝钉。1827年，雅可比迷上了它，埋头苦干2年后发表的人生第一篇杰作《椭圆函数理论的新基础》（椭圆函数领域关键性著作），让当时的研究有了质一般的飞跃。
雅可比与阿贝尔几乎同时各自独立发现了椭圆函数，因此被公认为椭圆函数理论独立奠基人。而该理论的出现不仅引进了θ函数，还为推动复变函数理论的发展和n个变量的阿贝尔函数论的产生带来了不可磨灭的影响。

在这里插入图片描述

椭圆函数，源自：Wikipedia
紧接着，拘泥于一个领域，已经远远无法满足日益膨胀的欲望后，雅可比开始疯狂扫荡各大数学分支，甚至是物理学分支。
得益于强大运算天赋，他最终在力学和数学物理等应用领域也收获了一番成就。
用于表述经典力学的哈密顿-雅可比理论是唯一可用于量子力学的理论；第一个将椭圆函数理论应用于数论研究的人；是决定因素理论的早期创始人之一；… …
扫荡过程中，行列式理论也沦为了他的囊中之物。而在他发表的著名论文《论行列式的形成和性质》中所引进的函数行列式正是大家熟悉的“雅可比行列式”。
此文标志着行列式系统理论的建成，文中不仅求出了函数行列式的导数公式，还证明了
函数之间是否相关的条件就是雅可比行列式是否为零
，并给出了该行列式的乘积定理。
若雅可比行列式恒等于零，函数组（u1,…,un）是函数相关。雅可比行列式在多重积分的变量替换中占据着决定性的作用，势必引起人们的全方位关注。

在这里插入图片描述

可以看出雅可比行列式辨识度很高，比常规的行列式长得更有特色，构成元素竟然均为
偏导数。
一个多变量函数的偏导数是指它关于其中一个变量的导数，而其他变量保持恒定。比如：若函数f(x,y)保持x值不变，改变y值可得到对应的f0(x,y+△y)。当△x→0时，f0-f/△y的极限存在，则可以称该比值为f对y的偏导数，记作：∂f/∂y；同理，保持y值不变情况下的偏导数，记作：∂f/∂x。
众所周知，矩阵和行列式是一对好基友，经常结伴出行。因此在介绍雅可比行列式的定义之前，打算先给大家讲讲雅可比矩阵。
假设f: Rn→Rm为一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数，并且由m个实函数组成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn)。若将该函数的偏导数(若存在)组成一个m行n列的矩阵, 那么这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵。

在这里插入图片描述

当m=n时，雅可比矩阵妥妥地变成一个方阵，该方阵的行列式则可称为雅可比行列式。雅可比矩阵重要之处在于它能够体现一个可微方程与给出点（设该点为点A）的最优线性逼近，因此雅可比行列式可用于求解点A的微分方程组的近似解。
如下图所示，映射f: R2→R2将左边的正方形变成右边扭曲的平行四边形，其中右边半透明白色区域是扭曲图形的最优线性近似，而平行四边形面积与原始正方形面积的比值则是雅可比行列式。

在这里插入图片描述

源自： Wikipedia
简单来说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响，代表着变换后的缩放比例，而雅可比行列式也不例外。
就拿图一来讲，图中的映射并非线性，但其微元变换实际上可以看做是线性的，因此雅可比行列式实际意义就是坐标系变换后，单位微元的比率或倍数。
现在让我们以二维空间为例，看看究竟怎么一回事。
设f=(x,y)，其中x=x(u,v)，y=y(u,v)，可求得
偏导数
分别为：

在这里插入图片描述

那么函数的雅可比矩阵为：

在这里插入图片描述

那么，雅可比行列式就是：

在这里插入图片描述

还是看图一，假设图中正方形所在的坐标系是uv坐标系，而平行四边形所在的坐标系是xy坐标系