数学分析理论基础12：连续性概念

连续性概念

函数在一点的连续性

定义1：设f在上有定义,若,则称f在点连续

定义2：若,则在点连续

定义3：若,使得时有,则称f在点连续

注：f在点连续即极限运算与对应法则f可交换,

例：证明函数在点连续,其中为Dirichlet函数

证：

单侧连续

定义：设f在内有定义,若,则称f在点右(左)连续

定理：f在点连续f在既是右连续又是左连续

间断点及其分类

定义：设f在内有定义,若f在点无定义,或f在点有定义而不连续,则称点为f的间断点或不连续点

1.f在点无定义或不存在

2.f在点有定义且存在,但

间断点分类

1.可去间断点

若,而f在点无定义,或有定义但,则称为f的可去间断点

设为函数f的可去间断点,且,定义一个函数

显然对于,是它的连续点

2.跳跃间断点

若f在点的左、右极限都存在,但,则称点为f的跳跃间断点

注：可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在

3.第二类间断点

函数的所有其他形式的间断点,即,使函数至少有一侧极限不存在的点

例：Dirichlet函数定义域R上每一点x都是第二类间断点

区间上的连续函数

定义：若f在区间I上的每一点都连续,则称f为I上的连续函数

对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续

分段连续

定义：若f在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点,则称f在[a,b]上分段连续

例：证明Riemann函数

在(0,1)内任何无理点处都连续,任何有理点处都不连续

证：