动态规划入门：斐波那契数列模型以及多状态（C++）
斐波那契数列模型以及多状态
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- 动态规划简述
- 斐波那契数列模型
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- 1.第 N 个泰波那契数（简单）
- 2.三步问题（简单）
- 3.使⽤最⼩花费爬楼梯（简单）
- 4.解码方法（中等）
- 简单多状态
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- 1.打家劫舍（中等）
- 2.打家劫舍II（中等）
- 3.粉刷房子（中等）
- 4.删除并获得点数（中等）
- 5.买卖股票的最佳时期含⼿续费（中等）
- 6.买卖股票的最佳时机含冷冻期（中等）
- 7.买卖股票的最佳时机III（困难）
- 8.买卖股票的最佳时机IV（困难）
动态规划简述
动态规划(Dynamic programming，简称 DP)是一种解决多阶段决策问题的算法思想。它将问题分解为多个阶段，并通过保存中间结果来避免重复计算，从而提高效率。
动态规划的解题步骤一般分为以下几步：
- 思考状态表示，创建dp表(重点)
- 分析出状态转移方程(重点)
- 初始化
- 确定填表顺序
- 确定返回值
斐波那契数列模型
1.第 N 个泰波那契数（简单）
链接：第 N 个泰波那契数
- 题目描述
- 做题步骤
- 状态表示
面对动态规划问题，我们一般有两种状态表示：
- 以某一个位置为起点，……
- 以某一个位置为终点，……
我们一般优先考虑第1种表示，但如果第1种无法解决就考虑第2种。
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状态转移方程
这个题目直接告诉了我们状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3] -
初始化
泰波那契数的第0、1、2个是特殊的，不满足状态转移方程，因此我们需要初始化这三个位置为0、1、1 -
填表顺序
保证填当前状态时，所需状态已经计算过，填表顺序很明显是从左往右 -
返回值
根据状态表示，假设要求的是第n个，返回的应该是dp[n]
- 代码实现
class Solution {
public:
int tribonacci(int n)
{
//对于第0、1、2单独处理
if(n == 0)
return 0;
if(n == 1 || n == 2)
return 1;
//dp[i]：第i个泰波那契数
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 0; dp[1] = 1; dp[2] = 1;
for(int i = 3; i < n + 1; i++)
{
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];
}
return dp[n];
//空间复杂度：O(N)
//时间复杂度：O(N)
}
};
//不知道大家有没有发现向后填表的过程其实只需要前置的3个状态
//其余的状态都是多余的，我们可以用有限的变量来保存这些状态，这样就实现了空间优化
//这种优化方式被称为“滚动数组”
//经过优化原O(N)->O(1) O(N^2)->O(N)
//但这并不是动态规划讲解的要点，所以我只会把两种优化情况的代码给出
// class Solution {
// public:
// int tribonacci(int n)
// {
// if(n == 0)
// return 0;
// if(n == 1 || n == 2)
// return 1;
// int t1 = 0;
// int t2 = 1;
// int t3 = 1;
// int ret = 0;
// for(int i = 3; i < n + 1; i++)
// {
// ret = t1 + t2 + t3;
// t1 = t2;
// t2 = t3;
// t3 = ret;
// }
// return ret;
// }
// };
2.三步问题（简单）
链接：三步问题
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题目描述
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做题步骤
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状态表示
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状态转移方程
到达i阶可以转换成先到达i - 3、i - 2、i - 1阶，三者相加得到结果，所以状态转移方程为：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]。 -
初始化
为了保证填表不越界，我们把到达1、2、3阶的方法初始化。 -
填表顺序
保证填当前状态时，所需状态已经计算过，填表顺序从左往右。 -
返回值
根据状态表示，假设要求的是n阶，返回的应该是dp[n]
- 代码实现
class Solution {
public:
int waysToStep(int n)
{
//1、2、3阶特殊处理
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 2;
if(n == 3) return 4;
//dp[i]表示到达i阶的方法数
vector<int> dp(n+1); //多开一个空间，可以让下标和层数对应
dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 4;
const int mod = 1e9 + 7; //有可能超出，需要取模
for(int i = 4; i < n + 1; i++)
{
dp[i] = ((dp[i-1] + dp[i-2]) % mod + dp[i-3]) % mod;
}
return dp[n];
//时间复杂度：O(N)
//空间复杂度：O(N)
}
};
3.使⽤最⼩花费爬楼梯（简单）
链接：使⽤最⼩花费爬楼梯
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题目描述
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做题步骤
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状态表示
这个题目的思路和第2题很相似，要到达终点n阶，我们可以从n - 1阶走一步、n - 2阶走两步到终点，从中选择费用最低的一方(从当前阶离开需要支付离开费用)；至于到达n - 1、n - 2阶的最低费用，我们可以以n - 1、n - 2层为终点进行分析，依此类推。到达终点的过程需要到达每一层的最低费用，我们可以用一个dp表存储，dp[i]表示到达下标i台阶所需要的最低费用。 -
状态转移方程
到达i阶的最低花费可以转换为min(到达i - 1阶的最低花费 + 走出这一阶的花费， 到达i - 2阶的最低花费 + 走出这一阶的花费)，所以状态转移方程为：dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])。 -
初始化
由转移方程可知更新某个状态需要前置的两个状态，为了确保填表时不越界，单独处理走到0、1阶的最低花费。 -
填表顺序
保证填当前状态时，所需状态已经计算过，填表顺序从左往右。 -
返回值
根据状态表示，假设数组有n个元素(终点是n阶)，返回的应该是dp[n]
- 代码实现
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost)
{
//dp[i] 表示到这一层的最小花费
int n = cost.size();
vector<int> dp(n + 1);
//一开始就可以在0或1阶，花费为0，vector默认给0，不用处理
for(int i = 2; i < n + 1; i++)
{
dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);
}
return dp[n];
//空间复杂度：O(N)
//时间复杂度：O(N)
}
};
// //第二种写法：反着来，以某个位置为起点，……
// class Solution {
// public:
// int minCostClimbingStairs(vector& cost)
// {
// //dp[i]：这一层为起点，到终点的最低花费
// int n = cost.size();
// vector dp(n + 1);
// dp[n] = 0;
// dp[n - 1] = cost[n - 1];
// for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
// {
// dp[i] = min(dp[i + 1] + cost[i], dp[i + 2] + cost[i]);
// }
// return min(dp[0], dp[1]);
// }
// };
4.解码方法（中等）
链接：解码方法
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题目描述
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做题步骤
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状态表示
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状态表示
除去第一位，每个位置都有单独解码和联合解码两种方式，n位置的状态转移方程为：dp[n] = dp[n - 1]（单独解码成功）+ dp[n - 2]（联合解码成功） -
初始化
依据状态转移方程，某位置状态需要前置的两个状态，为了避免越界，我们需要单独处理第1、2个位置，但观察上面的分析过程，可以发现第2个位置和其它位置一样也有两种解码可能，我们可以在dp表前面多加个虚拟节点并初始为1，这样就只需要处理第1个位置了。（看图看图）
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填表顺序
保证填当前状态时，所需状态已经计算过，填表顺序从左往右。 -
返回值
依据状态定义，假设序列长度为n，返回的应该是以n位置为结尾的解码可能数，即dp[n]。
- 代码实现
class Solution {
public:
int numDecodings(string s)
{
int n = s.size();
//dp[i]表示以i位置为结尾的解码可能数
vector<int> dp(n + 1);
//第一个位置就为0，最终结果已经是0
if(s[0] == '0')
return 0;
//初始化虚拟节点和第1个位置
dp[1] = dp[0] = 1;
for(int i = 2; i < n + 1; i++)
{
//单独解码
if(s[i - 1] != '0')
dp[i] += dp[i-1];
//联合解码（联合解码小于10说明存在前导0，无法联合解码）
int com = (s[i - 2] - '0') * 10 + (s[i - 1] - '0');
if(com >= 10 && com <= 26)
dp[i] += dp[i-2];
//都失败的情况是'00'，最终结果已经是0，这里可不加
//两个连续的0，后面全都是0
if(dp[i] == 0)
return 0;
}
return dp[n];
}
};
简单多状态
1.打家劫舍（中等）
链接：打家劫舍
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题目描述
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做题步骤
- 状态表示
依据前面的做题经验，我们可以把状态表示为以i位置为结尾的最大偷窃金额，但每个位置有偷和不偷两种选择，所以可以把状态再进行细化：状态f表示以i位置为结尾并偷窃本位置的最大金额；状态g表示以i位置为结尾但不偷窃本位置的最大金额。
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状态转移方程
由前面的分析可知，要偷i位置(f)需要i - 1位置不偷(g)的最大金额，不偷i位置就选择i - 1位置偷和不偷两种选择中大的一方，所以状态转移方程为：
(1) f[i] = g[i - 1] + nums[ i ] (本位置可偷金额)；
(2) g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]) -
初始化
由状态转移方程可知当今状态需要前一个状态，为保证填表时不越界，单独处理第一个位置：f[0] = nums[0]，g[0] = 0。 -
填表顺序
保证填当前状态时，所需状态已经计算过，填表顺序从左往右。 -
返回值
把自己代入成小偷，相邻位置不能同时偷的情况下是需要进行选择的，但偷的过程中不知道后面房子的价值，只能走一步看一步，保证每一步都是最好的，偷到最后一定是最优结果。假设数组有n个元素，返回值为max(f[n - 1], g[n - 1])。
- 代码实现
class Solution {
public:
int rob(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> f(n); //f[i]表示到底这个位置并偷窃的最大金额
auto g = f; //g[i]表示到达这个位置不偷窃的最大金额
f[0] = nums[0]; //初始化f[0],g[0]默认0不用处理
for(int i = 1; i < n; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + nums[i];
g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]);
}
return max(f[n - 1], g[n - 1]);
//空间复杂度：O(N)
//时间复杂度：O(N)
}
};
2.打家劫舍II（中等）
链接：打家劫舍II
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题目描述
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做题步骤
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状态表示
这个题和前一个题唯一的不同只有首尾成环这一个点，我们延用上个题目的状态表示：状态f表示以i位置为结尾并偷窃本位置的最大金额；状态g表示以i位置为结尾但不偷窃本位置的最大金额。
处理成环问题，最直接的思路就是拆解。
-
状态转移方程
和上一道题目一致，状态转移方程为：
(1) f[i] = g[i - 1] + nums[ i ] (本位置可偷金额)；
(2) g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]) -
初始化
和上一道题目一致。 -
填表顺序
从左往右。 -
返回值
_rob函数表示指定区间的打家劫舍，返回值为：
max(nums[0] + _rob(nums, 2, n - 2), _rob(nums, 1, n - 1))。
- 代码实现
class Solution {
public:
int _rob(vector<int>& nums, int left,int right)
{
//区间不存在返回0
if(left > right)
return 0;
int n = nums.size();
vector<int> f(n); //到这个屋子偷的最大金额
auto g = f; //到这个屋子不偷的最大金额
f[left] = nums[left];
for(int i = left + 1; i <= right; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + nums[i];
g[i] = max(f[i - 1],g[i - 1]);
}
return max(f[right],g[right]);
}
int rob(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
return max(nums[0] + _rob(nums, 2, n - 2), _rob(nums, 1, n - 1));
}
};
3.粉刷房子（中等）
链接：粉刷房子
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题目描述
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做题步骤
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状态表示
依据经验和题目要求，我们可以把状态定义为把第i号房子粉刷成j颜色的最小花费。
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状态转移方程
状态转移方程为(0是红色、1是蓝色、2是绿色)：
(1)dp[i][0] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + cost[i][0]（花费）
(2)dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + cost[i][1]
(3)dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + cost[i][2] -
初始化
为了保证填表不越界，我们要初始化第一行的值，但是那样太麻烦了，我们可以多开一行并初始化0，这样就不用单独处理第一行了。（注意和cost数组的下标对应关系） -
填表顺序
从上往下，每一行从左往右。
5.返回值
依据状态表示，假设最后的房子是i号，返回值为min({dp[n][0], dp[n][1], dp[n][2]})。
- 代码实现
class Solution {
public:
int minCost(vector<vector<int>>& costs)
{
int n = costs.size();
//dp[i][j]表示第i号房子粉刷成j颜色的最低花费
//其中0表示红色，1表示蓝色，2表示绿色
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3));
//空间多开一行并初始化0，不用单独处理第一行
for (int i = 1; i < n + 1; i++)
{
dp[i][0] = costs[i - 1][0] + min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
dp[i][1] = costs[i - 1][1] + min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]);
dp[i][2] = costs[i - 1][2] + min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]);
}
return min({dp[n][0], dp[n][1], dp[n][2]});
//时间复杂度：O(N)
//空间复杂度：O(N)
}
};
4.删除并获得点数（中等）
链接：删除并获得点数
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题目描述
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做题步骤
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状态表示
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状态转移方程
这个题就是变形的“打家劫舍”，转移方程一致：
(1) f[i] = g[i - 1] + v[ i ] (删除本位置可得点数)；
(2) g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]) -
初始化
数组转化完成后dp表不需要处理。 -
填表顺序
从左往右。 -
返回值
返回值为max(f[N - 1],g[N - 1])
- 代码实现
class Solution {
public:
int deleteAndEarn(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
//创建数组进行映射
//题目中1 <= nums[i] <= 10000
const int N = 10001;
int v[N] = {0};
for(auto val : nums)
v[val] += val;
//“打家劫舍”
vector<int> f(N); //f[i]表示以i区域为结尾并且删除本区域的最大点数
auto g = f; //g[i]表示以i区域为结尾但不删除本区域的最大点数
for (int i = 1; i < N; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + v[i];
g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
}
return max(f[N - 1],g[N - 1]);
//时间复杂度：O(N)
//空间复杂度：O(1)
}
};
//上面的写法简洁一些，但无论数据量多少都会遍历10000次
//可以记录数组的最大、最小值，来加快速度
// class Solution {
// public:
// int deleteAndEarn(vector& nums)
// {
// int n = nums.size();
// vector v(10001);
// //先遍历一次
// int _max = nums[0];
// int _min = nums[0];
// for (int i = 0; i < n; i++)
// {
// v[nums[i]] += nums[i];
// _max = max(_max, nums[i]);
// _min = min(_min, nums[i]);
// }
// vector f(10001);
// auto g = f;
// for (int i = _min; i <= _max; i++)
// {
// f[i] = g[i - 1] + v[i];
// g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
// }
// return max(f[_max],g[_max]);
// }
// };
5.买卖股票的最佳时期含⼿续费（中等）
链接：买卖股票的最佳时期含⼿续费
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题目描述
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做题步骤
- 状态表示
dp[i][j]：第i天结束时处于j状态的最大利润。
-
状态转移方程，0表示结束有股票，1表示结束没有股票，fee是手续费，prices[i]表示第i天的股票价格
(1)dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])
(2)dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee) -
初始化
初始化第0天状态即可，dp[0][0] -= prices[0];。 -
填表顺序
从上到下。 -
返回值
返回值为：max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][0])。
- 代码实现
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee)
{
int n = prices.size();
//dp[i][j]:第i天结束处于j状态的最大利润
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2));
//这种解法买入还是卖出交手续费都一样(反正买入了一定会卖出)
dp[0][0] -= prices[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
}
return max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][0]);
//时间复杂度：O(N)
//空间复杂度：O(N)
}
};
6.买卖股票的最佳时机含冷冻期（中等）
链接：买卖股票的最佳时机含冷冻期
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题目描述
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做题步骤
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状态表示
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状态转移方程
0是买入（有股票）、1是可交易、2是冷冻，prices[i]表示第i天的股票价格，状态转移方程为：
(1)dp[i][0] = max(dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][0])
(2)dp[i][1] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1])
(3)dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i] -
初始化
当前天的三种状态需要前一天的状态，所以初始化dp表的第一行
dp[0][0]：想该天结束后处于买入状态，必须把股票买了，dp[0][0] = -prices[i]；
dp[0][1]：什么都不干，dp[0][1] = 0；
dp[0][2]：想该天结束处于冷冻，在同一天买入和卖出，dp[0][2] = 0； -
填表顺序
从上到下。 -
返回值
最大值应该手中没有股票，假设数组有n个元素，最大值为max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][ 2 ])。
- 代码实现
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices)
{
int n = prices.size();
//dp[i][j]：第i天结束后处于j状态时的最大利润
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3));
//初始化
dp[0][0] -= prices[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
dp[i][0] = max(dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][0]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
}
return max(dp[n - 1][2],dp[n - 1][1]);
}
};
7.买卖股票的最佳时机III（困难）
链接：买卖股票的最佳时机III
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题目描述
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做题步骤
-
状态表示
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状态转移方程
由前面的分析可知，状态转移方程为：
(1)f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i])
(2)if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i])
else g[i][j] = g[i - 1][j] -
初始化
需要i = 0的状态，初始化第一行。
(1)处于第一行的时候只有f[0][0]和g[0][0]存在，f[0][0] = -prices[0]，g[0][0] = 0。
(2)为了避免不存在的状态干扰取max值，我们把不存在的状态统一初始化为 INT_MIN / 2。（INT_MIN会越界，尽可能小就行） -
填表顺序
从上往下填每一列，从左往右填每一行。 -
返回值
返回最后一行的最大值即可。
- 代码实现
class Solution {
public:
//可能会越界,取INT_MIN的一半
const int INF = INT_MIN / 2;
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
//dp[i][j]表示在第i天结束后完成j次交易，处于""状态下的最大利润
vector<vector<int>> f(n, vector<int>(3, INF)); //买入
auto g = f; //可交易
//初始化
f[0][0] = -prices[0];
g[0][0] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < 3; j++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);
g[i][j] = g[i - 1][j];
//j == 0的时候前置状态f[i - 1][j - 1]不存在
if(j >= 1)
g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
}
}
return max({g[n - 1][0], g[n - 1][1], g[n - 1][2]});
}
};
8.买卖股票的最佳时机IV（困难）
这个题目的思考方式和第7题完全一致，大家可以先自己试着做一下。
链接：买卖股票的最佳时机IV
- 代码实现
class Solution {
public:
const int INF = INT_MIN / 2;
int maxProfit(int k, vector<int>& prices)
{
int n = prices.size();
//n天最多完成n / 2次交易，k不能超过这个值
k = min(k, n / 2);
//买入
//dp[i][j]表示在第i天结束后完成j次交易，处于""状态下的最大利润
vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k + 1, INF));
//卖出
auto g = f;
//初始化(先买再说)
f[0][0] = -prices[0];
g[0][0] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j <= k; j++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);
g[i][j] = g[i - 1][j];
if(j >= 1)
g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
}
}
int ret = g[n - 1][0];
//把利润最大的那个找出来
for(int j = 1; j <= k; j++)
{
ret = max(ret, g[n - 1][j]);
}
return ret;
}
};