分治算法基本思想及举例

分治算法：
基本概念：
   在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

    任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
基本思想及策略：
  分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

   分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

   如果原问题可分割成k个子问题，1 三、分治法适用的情况

    分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

    1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

    2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

    3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

    4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

使用分治法的一些经典问题：
1.二分搜索
2.大整数乘法
3.Strassen矩阵乘法
4.棋盘覆盖
5.归并排序
6.快速排序
7.线性时间排序
8.最接近点对问题
9.循环赛日程表
10.汉诺塔

汉诺塔例子：java代码
如果有一个盘 A->C
如果我们有n>=2情况，我们总是可以看做是两个盘：
1.最下边的盘
2.上面的盘
（1）先把最上面的盘A->B
（2）把最下边的盘A->C
（3）把B塔的所有盘从B->C

代码如下：

public static void hanoiTower(int num,char a,char b,char c){
        if(num==1){
            System.out.println("第"+num+"个盘子"+"从"+a+"->"+c);
        }else {
            hanoiTower(num-1,a,c,b);//递归调用a借助c到达b,注意有交换，b,c不是原来的
            System.out.println("第"+num+"个盘子"+"从"+a+"->"+c);
            hanoiTower(num-1,b,a,c);//递归调用b借助a到达c
        }
    }