算法通关村十三关-白银：数字与数学高频问题
有很多解题技巧，需要持续积累
1.数组实现加法专题
如果让你用数组来表示一个数，如何实现加法呢？
理论上仍然从数组末尾向前挨着计算就行了，但是实现的时候会发现很多问题，例如需要进位该怎么办？
进一步拓展，两个数相加，一个用数组存储，另一个是普通的整数，如何处理？
再拓展，如果两个整数使用字符串表示呢？如果是要按照二进制加法的规则来呢？
1.1数组实现整数加法
LeetCode66
https://leetcode.cn/problems/plus-one/
思路分析
从后向前一直加就行，如果有进位就需要进位
重点关注：当进位导致数组长度变化的情况，如 [9,9,9]，加1后变为[1,0,0,0]，数组长度发生变化
代码实现
Java中巧妙处理数组长度变化
digits = new int[len+1];
digits[0] = 1
def plusOne(digits):
n = len(digits)
for i in range(n - 1, -1, -1):
digits[i] += 1
digits[i] %= 10
if digits[i] != 0:
return digits
return [1] + digits
def plusOne(digits):
n = len(digits)
for i in range(n - 1, -1, -1):
if digits[i] < 9:
digits[i] += 1
return digits
digits[i] = 0
digits.insert(0, 1)
return digits
1.2字符串加法
给定两个字符串形式的非负整数 num1 和 num2，计算它们的和并同样以字符串形式返回
思路分析
从低到高逐位相加，如果当前和超过10，则向高位进一位
通过代码写出来
定义两个指针i和j，分别指向num1和num2的末尾，即最低位
定义一个变量add维护当前是否有进位
从末尾到开头逐位相加
注：两个数组位数不同，补0处理
代码实现
def addString(num1, num2):
i, j = len(num1) - 1, len(num2) - 1,
ans = ""
add = 0
while i >= 0 or j >= 0 or add:
x = num1[i] if i >= 0 else '0'
y = num2[j] if j >= 0 else '0'
result = int(x) + int(y) + add
ans = str(result % 10) + ans
add = result // 10
i -= 1
j -= 1
return ans
1.3二进制加法
LeetCode67
https://leetcode.cn/problems/add-binary/
思路分析
方法1：中规中矩，参考上面字符串加法
方法2：先将其转换成十进制，加完之后转换成二进制
这么做实现非常容易，而且可以使用语言提供的方法直接转换
工程里可以这么干，稳定可靠，但是算法里不行，太简单了
代码实现
方法1：
def addBinary(a, b):
i, j = len(a) - 1, len(b) - 1,
ans = []
add = 0
while i >= 0 or j >= 0 or add:
result = add
result += int(a[i]) if i >= 0 else 0
result += int(b[j]) if j >= 0 else 0
ans.append(str(result % 2))
add = result // 2
i -= 1
j -= 1
ans.reverse()
return "".join(ans)
if __name__ == '__main__':
print(addBinary('100', '111'))
2.幂运算
形式 a^b ，a的b次方，a为底数，b为指数
合法，不会出现a=0且b<=0的情况
关注底数和指数的数据类型和取值范围
如有的问题中，底数是正整数，指数是非负整数
有的问题中，底数是实数，指数是整数
LeetCode中，幂运算相关的问题主要是判断一个数是不是特定正整数的整数次幂，以及快速幂的处理
2.1求2的幂
LeetCode 231 2 的幂
https://leetcode.cn/problems/power-of-two/
思路分析
如果存在一个整数x，使得 2^x = n，则认为n是2的幂次方
方法1：除法
用除法逐步缩小n的值
首先判断 n 是否是正整数，n为0或者为负整数，返回false
n 是正整数，连续对n进行除以2的操作，直到n不能被2整除，如果 n==1，返回true，否则返回false
方法2：位运算
该方法与前面统计数字转换成二进制之后1的个数思路一致
当 n>0 时，考虑 n 的二进制表示
如果 n = 2^k，则n的二进制表示为1后面跟 k 个0
仅当 n 的二进制表示中只有最高位是1，其余位都是0，此时满足 n&(n-1)=0
代码实现
class Solution:
def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
# 方法1：除法
if n <= 0:
return False
while n % 2 == 0:
n //= 2
return n == 1
class Solution:
def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
# 方法2：位运算
return n>0 and n&(n-1) == 0
2.2求3的幂
LeetCode326
https://leetcode.cn/problems/power-of-three/
思路分析
方法1：除法
同上面求2的幂
方法2：技巧
给定的n是int型，其最大值为 2^31-1
不超过 2^31 的最大的3的幂是 3^19 = 1162261467
如果在 1~2^31-1内的数，如果是3的幂，则一定是能被 1162261467 整除
代码实现
方法1：除法
class Solution:
def isPowerOfThree(self, n: int) -> bool:
# 方法1：除法
if n<=0:
return False
while n%3==0:
n//=3
return n == 1
方法2：技巧
class Solution:
def isPowerOfThree(self, n: int) -> bool:
# 方法2：技巧
return n>0 and 3**19 % n == 0
拓展思考
这里将3换成 4，5，6，7，8，9可以吗？如果不可以，那如果只针对素数 3，5，7，11，13可以吗？
2.4求4的幂
LeetCode342
https://leetcode.cn/problems/power-of-four/submissions/
思路分析
方法1：除法
与求2的幂思路一致，数学方法一直除
方法2：利用2的次幂进行拓展来优化
如果n是4的幂，那么n一定是2的幂 满足 n&(n-1)==0
如果n是4的幂，n的二进制表示只有1个1，1后面必须有偶数个0，且1出现在从低位开始（从0开始）的第偶数个二进制位上
如 16 的二进制表示 10000
n为32为有符号整数，构建辅助二进制数
MASK = 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010
MASK = AAAAAAAA 16进制
方法3：取模
4^x≡(3+1) ^x ≡1^x≡1(mod 3)
如果 n是2的幂却不是 2 的幂，那么它可以表示成 4^× * 2，它除以3的余数一定为2。
因此我们可以通过n除以 3 的余数是否为 1来判断 n 是否是 4 的幂。
代码实现
方法1：
class Solution:
def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
# 方法1：除法
if n<= 0:
return False
while n % 4 == 0:
n //= 4
return n == 1
方法2：
class Solution:
def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
# 方法2：2的幂的拓展
return n>0 and n&(n-1)==0 and n&(0xaaaaaaaa) == 0
方法3：
class Solution:
def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
# 方法3:取模
return n>0 and n&(n-1)==0 and n % 3 == 1