查找算法
一.前言
查找是在大量的信息中寻找一个特定的信息元素，在计算机应用中，查找是常用的基本运算， 是很多程序中最耗时间的一部分，查找方法的优劣对系统运行效率影响很大。
我会带大家一起学习几种常见的查找算法
1.顺序查找 2.二分查找 3.插值查找 4.斐波那契查找 5.分块查找 6.树表查找 7.散列表查找 *
二.基本概念
1.查找：是指在数据元素集合中查找满足某种的数据元素的过程，例如：在学生成绩表中查找某一学生的成绩、在字典查找某个字等。
2.查找表：用于查找的数据元素集合称为查找表，查找表由同一类型的数据元素组成。
3.关键字：数据表中数据元素一般有多个属性域，其中有一个属性域可用来区分元素，作为查找或排序的依据，该域即为关键字。
主关键字：能唯一标识数据元素的关键字，例如，成绩表中学生的学号，是唯一的。
次关键字：不能唯一标识数据元素的关键字，例如，学生的姓名，因为可能出现两个名字相同的学生的情况。
4.动态查找和静态查找
若在查找的同时对表做修改运算（如插入和删除），则称这类查找为动态查找，否则为静态查找。静态查找。
在查找过程中查找表本身不发生变化，而动态查找表则有可能发生变化。相比较而言，静态查找表的结构较 为简单，操作较为方便，但查找的效率较低，而且需要考虑表的溢出问题。
5.内查找和外查找
若整个查找的过程全部在内存中进行，则称其为内查找；若在查找过程中还需要访问外存，则称其为外查找。
6.平均查找长度（ASL）
查找的时间复杂度一般用平均查找长度（ASL）来衡量。平均查找长度是指在数据表中查找各数据元素所需 进行的关键字比较次数的期望值。
三.分类
1.顺序查找
顺序查找又称线性查找（Sequential Search）,是一种最简单、最基本的静态查找方法。其基本思想是：从表的一端开始，扫描整个线性表，依次将扫描的结点关键字与给定值K进行比较，若当前扫描的关键字结点与K相等，则查找成功；若扫描结束后，仍未找到关键字值等于K的结点，则查找失败。
顺序查找所用的时间跟查找关键字K在表中的位置有关。若在长度为n的查找表中超找K值，最好的情况是K在查找表的第一个位置，这样只需要一次查找就能查找成功；最坏的情况是K在查找表最后一个位置或者K根本不在查找表中，此时需要遍历整个查找表。顺序表查找的时间复杂度为O（n）。
顺序查找的优点是算法简单，且对表的结构没有任何要求，无论是用顺序表还是用链表存放记录，也无论记录之间是否按关键字有序存放，都适用顺序查找。顺序查找的确定是超找效率低，因为在较大规模的数据集合中进行查找时，不宜采用顺序查找。
2.二分查找
二分查找又称折半查找（Binary Search），是一种效率比较高的静态查找方法。二分查找要求各数据元素按关键字有序（升序或降序）排列，并且要求查找表使用线性表的顺序存储结构。也就是说，二分查找只适用于对有序的顺序表进行查找。
假设在一个有n个元素的查找表中查找K值，二分查找的思想是，首先将K值与查找表中中间位置上的元素进行比较，若相等，则查找成功；否则，中间元素将查找表分成两个部分，前一部分中的元素均小于中间元素，而后一部分元素均大于中间元素。因此，K于中间元素比较以后，若K值小于中间元素，则应在前一部分查找，否则在后一部分查找。重复上述过程，直至查找成功或失败。
如图演示有10个元素的有序查找表（2,8,10,13,21,36,51,57,62,69）中查找关键字为51的数据元素：
二分查找可用一颗称为判定树的二叉树来描述，判定树中每一个结点对应表中一个元素，但结点的值不是关键字的值，而是元素在表中的位置。根结点对应当前区间的中间元素，左子树对应左子表，右子树对应右子表。
显然二分查找成功时，与关键字比较的次数最多不超过判定树的深度。
而具有n个节点的判定树的深度和n个结点的完全二叉树的深度相等。均为logn+1 二分查找的时间复杂度为O（logn），也就是说在10000条记录的有序查找表中， 平均只需要找14次就可找到指定元素。
二分查找的优点是比较次数少，查找速度快，效率非常高。但是由于查找之前需要 将表按照关键字排序，排序本身就是一种很费时的运算，因此二分查找适用于不经常 变动而查找频繁的有序表。
在C#中，System.Collection.SortedList
Add() 添加元素
Remove（）删除元素
Count 元素的个数
Capacity 容量
This[] 索引器
3.插值查找
插值查找是二分查找上的一个优化。
mid=(low+high)/2, 即mid=low+1/2*(high-low);
通过类比，我们可以将查找的点改进为如下：
mid=low+(key-a[low])/(a[high]-a[low])*(high-low)，也就是将上述的比例参数1/2改进为自适应的，根据关键字在整个有序表中所处的位置，让mid值的变化更靠近关键字key，这样也就间接地减少了比较次数。
基本思想：基于二分查找算法，将查找点的选择改进为自适应选择，可以提高查找效率。当然，差值查找也属于有序查找。
注：对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，数组中如果分布非常不均匀，那么插值查找未必是很合适的选择。
复杂度分析：查找成功或者失败的时间复杂度均为O(log2(log2n))。
4.斐波那契查找
斐波那契查找是二分查找的一种提升算法，通过运用黄金比例的概念在数列中选择查找点进行查找。
相对于二分查找和差值查找，斐波那契查找的实现略显复杂。但是在明白它的主体思想之后，掌握起来也并不太难。 他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，即n=F(k)-1
概念：
黄金比例，又称黄金分割，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分 之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1:0.618或0.618:1。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、 建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。因此被称为黄金分割。
斐波那契数列，1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89……. 从第三个数开始，后边每一个数都是前两个数的和，然后我们会发现，随着斐波那契数列的递增，前后两个数的比值会越来越接近0.618，利用这个特性，我们就可以将黄金比例运用到查找技术中。
5.分块查找
分块查找又称索引查找，是针对分块有序数据的一种静态查找算法。
分块有序是把数据集的记录分成若干块，并且这些块满足两个条件：
1.块内无序：不一块内的记录不需要有序，当然你如果能让块内有序，对查找来说更理想，不过这要付出大 量的时间和空间代价，通常我们不要求块内有序。
2.块间有序：例如，要求第二块内记录关键字都必须大于第一块内记录的关键字，第三块记录的关键字均大 于第二块记录的关键字，……，因为只有块间有序，才有可能给查找带来效率。
分块索引表一般分为三个数据项：
1.最大关键字：它存储每一块中的最大关键字，这样的好处就是 可以使得在他之后的下一块中的最小关键字也能比 这一块最大的关键字要大。
2.块长：储存块中记录的个数，以便于循环时使用。
3.首块地址：指向首块数据元素的指针，便于开始对这一块记录遍历。
例如，我们需要查数据32，首先查找索引表，由于23<32<48,因此确定32 在索引7-13处，因此只需要在7-13所在的位置进行查找即可得到结果。 由于索引表有序，因为可以采用二分查找方法快速确定元素所在块. 由于数据块内元素无序，因此只能采用简单低效的顺序查找方式进行。
分块查找的时间复杂度为O（n^0.5）,他的效率介于顺序查找和二分查找之间，是顺序查找和二分查找的一个折中方案。
在分块查找中，不同的数据类型有不同的划分方法，把一个顺序表划分为多少块及每块的大小都要根据实际情况来确定。不具有通用性，所以我们只介绍下理论。
6.二叉查找树
二叉查找树（Binary Search Tree，BST）又称为二叉排序树（Binary Sort Tree），他是满足如下性质的二叉树：
1.若他的左子树非空，则左子树上所有的记录均小于根记录的值。
2.若他的右子树非空，则右子树上所有的记录均大于根记录的值。
3.左、右子树本身又各是一棵二叉查找树。
二叉查找树是递归定义的，其一般理解是：二叉树中的任意一点，其值为k，只要该节点有左孩子，则左孩子的值必小于k，只要有右孩子，则右孩子的值必大于k，二叉查找树的一个重要性质是：中序遍历该树得到的序列是一个递增有序序列。
如图所示查找32结点的示意图：
二叉查找树和二分查找的判定树很相似。
判定树，由于二分查找表是有序的，所以无论按照什么样的顺序 插入，二分查找的判定树只有一个；但是二叉查找树中，如果元素 的插入顺序不同，他生成的二叉查找树有可能不同。
6.1 BST-插入
已知一个关键字为k的节点，若将其插入到二叉查找树中，只要保证插入后仍符合二叉查找树的定义即可。新插入的结点一定是一个新添加的叶子节点，结点的插入方法如下：
1.若二叉树是空树，则k成为二叉查找树的根。
2.若二叉查找树非空，则将k与二叉查找树的根进行比较，如果k = 根的值，停止插入；k < 根的值，则将k插 入到左子树；k > 根的值，则将k插入到右子树。
如图演示关键字序列为(5,8,3,4,6,1,2,7)插入的过程：
6.2 BST-删除
二叉查找树的删除比较麻烦，在删除结点的时，不能把以该结点为根的子树都删掉，只能删除该结点，并且还保证删除后所得的二叉树仍满足二叉查找树的性质。
假如要删除结点p,结点p的双亲为f，我们分三种情况讨论：
1.p为叶子结点，直接删除
2.p只有一个孩子，删除后，让孩子取代p
3.p有两个孩子，右子树的最小值替换他或者左子树的最大值替换他，然后删除自己
6.3 BST-优化
若同样的集合，插入顺序改为（1,2,3,4,5,6,7,8）,那么上述算法生成的二叉树就如图所示：
可以看到，不同的插入顺序将得到不同的二叉查找树，最糟糕的情况是插入一个有序序列， 使得具有n个元素的集合生成高度为n的单支二叉树，从而导致他的查找性能接近线性表。
前苏联科学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis提出了自平衡二叉查找树。 这种二叉树在插入和删除操作中，可以通过一系列的旋转操作来保持平衡。 从而保证了二叉查找树的效率，最终这种二叉树以他们的名字命名AVL-Tree， 他也被称为平衡二叉树。
另一种与AVL树相似的树是红黑树，也被称为平衡二叉B树。他跟AVL-Tree原理非常 接近，区别在于他使用颜色来标识结点的高度，并且它追求的是局部平衡，而AVL是非常严格 的平衡
6.4 AVL树的平衡
AVL树的每一个结点都有一个平衡因子（Balance Factor，BF），它表示这个结点的左、右子树的高度差。
AVL树上所有的结点的BF值只能是-1,0,1，反之就不是平衡二叉树。
