数据结构与算法基础-二进制运算性质及相关算法

1 几个与码相关的术语

 

原码 : 以二进制形式在计算机中存储,数值前直接加一符号位的表示法 1表示负数 0 表示正数

反码 : 正数的反码与原码相同;负数的反码,符号位为$1$,数值部分按位取反。

补码 : 正数的补码和原码相同;负数的补码则是符号位为$1$,数值部分按位取反后再在末位(最低位)加$1$，也就是反码$+1$。

这里以数字7为例

int main()
{
       // 0111 1111  1111 1111  1111 1111 1111 1111
       //整数是以源码的形式存储 表示-10
       int num = 0x0000000A;
       cout << num << endl;
       // 负数是以补码的形式存储 -10的表示 补码是原码 按位取反加1
       num = ~(0x0000000A)+1;
       //cout << num << endl;
       int bitNum = 0x07;
       cout <<  bitNum << endl;// 7
       bitNum = (~bitNum) + 1;
       cout <<  bitNum << endl; // -7
      return 0;
}

 

2 位运算概述

 

符号	描述	运算规则
|	按位或	两位都是0时结果才是0
&	按位与	两位都是1时结果才是1
^	按位异或	两位相同为 0 不同为 1
>>	右移	低位丢弃 高位补0
<<	左移	高位丢弃 低位补0

 

3 位运算符的运算率

 

1. 交换律

 

$a$ $|$ $b$ $|$ $c$ $=$ $b$ $|$ $a$ $|$ $c$

$a$ ^ $b$ ^ $c$ $=$ $b$ ^ $a$ ^ $c$

$a$ $\&$ $b$ $\&$ $c$ $=$ $b$ $\&$ $a$ $\&$ $c$
 

2. 结合律

$a$ $|$ $b$ $|$ $c$ $=$ $a$ $|$ $(b$ $|$ $c)$

$a$ ^ $b$ ^ $c$ $=$ $b$ ^ $(a$ ^ $c)$

$a$ $\&$ $b$ $\&$ $c$ $=$ $b$ $\&$ $(a$ $\&$ $c)$
 

3. 等幂律

$A\&A\&A=A$
$A|A|A=A$
 

4.零律

$A\stackrel{ˆ}{}A=0$
$A\stackrel{ˆ}{}0=A$
$A\&0=0$

$A|0=A$
$A\wedge 0=A$

 

int main()
{
      cout << (3 | 2 | 4) << endl;
      cout << (2 | 3 | 4 ) << endl;

      cout << (3 & 2 & 4) << endl;
      cout << (2 & 3 & 4 ) << endl;

      cout << (2 ^ 3 ^ 4) << endl;
      cout << (3 ^ 2 ^ 4) << endl;

      cout << (10 & 10 & 10) << endl;

      cout << (10 | 10 | 10) << endl;

      cout << (10 ^ 10) << endl;
}

4 位运算的高级操作

功能	位运算
去掉最后一位	X >> 1
在最后加一个0	X << 1
在最后加一个1	X << 1 + 1
最后一位变1	X | 1
最后一位变0	X | 1 - 1
最后一位取反	X ^ 1
把右数第k位变为1	X ^ ( 1 << (k - 1))
把右数第k位变为1	X ^ ( 1 << (k - 1))
把右数第k位变为0	X & ~( 1 << (k - 1))
删除最右侧的1	X & (X-1)
取出最右侧的1	X & (-X)

5 位运算的应用

 

乘法/除法运算

int main()
{
    // 左移1位乘2 左移多少位就乘2的几次方
    // 右移1位除2 右移多少位就除2的几次方
     cout << (10 << 2) << " " <<   (100>>2) << endl;// 40 25
}

 
提取出最右侧的1

int main()
{
    // 一个 数与上自己的相反数得到此数最右侧的1
    cout << (7 & (-7)) << endl;
}

 
交换两个数的值

// a 和 b的内存地址不能是同一个 否则会被抹成0
void swap(int& a,int& b)
{
    a = a ^ b;
    b = a ^ b; // a ^ b ^ b a ^ 0 a
    a = a ^ b;
}

奇偶数判断

/**
  
 * @brief isEven
 * @param num
 * @return 
 */
bool isEven(int32 num)
{
   // 直接和1做与运算 为 0,则说明最后一位是0 否则为1
   return (num & 1) == 0 ? true : false;
}

二进制中1的个数

/**
 * @brief getBitCount
 * @param n
 * @return 
 */
int32 getBitCount(int32 n){
    int32 iCount = 0;
    while (n)
    {
       //
       n = n & (n - 1);
       ++iCount;
    }
    return iCount;
}

求绝对值

/**
 * @brief getReverse  取相反数
 * @param n
 * @return
 */
int32 getReverse(int32 n)
{
    return ~n + 1;
}

/**
 * @brief abs 取绝对值
 * @param n
 * @return
 */
int32 abs(int n)
{
    // 右移31位是为了得到符号位
    return ((n >> 31) == 0 )? n : (~n + 1);
}