线性代数的学习和整理19，特征值，特征向量，以及引入的正交化矩阵概念

目录

1 什么是特征值和特征向量？

1.1 特征值和特征向量这2个概念先放后

1.2 直观定义

1.3 严格定义

2 如何求特征值和特征向量

2.1 方法1：结合图形看，直观方法求

2.1.1 单位矩阵的特征值和特征向量

2.1.2 旋转矩阵

2.2  根据严格定义的公式 A*X=λ*X 来求

2.3  特征方程

2.4 互异特征值对应的特征向量之间是线性无关的

3  对角化，普通矩阵对角化为对角矩阵

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 2 

特征值，放大伸缩倍数

特征向量，旋转角度

 3.3  特征值和特征向量是什么？

直接说现在：特征向量这个块往哪个方向进行了拉伸，各个方向拉伸了几倍。这也让人很容易理解为什么，行列式的值就是特征值的乘积。

特征向量也代表了一些良好的性质，即这些线在线性变换后没有发生方向的偏移（可以逆转）只是长度发生了改变。

1 什么是特征值和特征向量？

1.1 特征值和特征向量这2个概念先放后

特征值和特征向量这2个概念先放后

先搞清楚，为什么会有特征值和特征向量

1.2 直观定义

因为有的向量，经过线性组合（线性映射）后其还是共线（方向不变/或刚好相反），这时

这些没有发生变换的向量称为特征向量

变换前后的伸缩比例叫做特征值

配图

1.3 严格定义

假设A是n阶方阵，X为非零向量，如果存在λ 使得如下等式成立

A*X=λ*X

那么λ就是A的特征值，非零向量x是A的特征向量

2 如何求特征值和特征向量

2.1 方法1：结合图形看，直观方法求

2.1.1 单位矩阵的特征值和特征向量

I*X=X

因此单位矩阵特征值是1，特征向量是向量空间内的任意向量

2.1.2 旋转矩阵

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   cos(θ) & -sin(θ) \\
   sin(θ) & cos(θ) \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

旋转矩阵需要根据，具体的转动角度θ来确定

注意θ用弧度值不要用角度值

比如θ=Π/2  不共线

 θ=Π 还是共线，但是方向改变了，特征值-1 ，特征向量是所有向量？

因为任意向量来和旋转矩阵，都是刚好旋转这个弧度值

2.2  根据严格定义的公式 A*X=λ*X 来求

A*X=λ*X

A*X-λ*X=0

(A*-λ)*X=0

(A*-λ*I)*X=0

如果|A*-λ*I|≠0，那么(A*-λ*I)*X=0 只能是x=0,而x不能是零向量，因此|A*-λ*I|=0

联立方程组求解

|A*-λ*I|=0

(A*-λ*I)*X=0

|A*-λ*I|=0 → |1-λ,1 ;1 ,1-λ |=0  →  (1-λ)^2-1=0 

λ=0

λ=2

根据这个带入方程去求特征向量

？

2.3  特征方程

2.4 互异特征值对应的特征向量之间是线性无关的

3  对角化，普通矩阵对角化为对角矩阵

逆天 对角矩阵=[λ1,0 ; 0,λ2]

AP=P*Λ

APP-=P*Λ*P-

A=P*Λ* P-

如果P是正交矩阵，那么P-=Pt 而Pt 很好求

则A=P*Λ* Pt