高中奥数 2021-12-22

2021-12-22-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与向量的应用 P069 例4）

求证:、、、共圆的充要条件是:为实数,其中、、、分别为、、、所对应的复数.

分析与解

易知无论、、、如何在圆上分布,总有或.因此为实数等价,亦与、、、共圆等价,证毕.

2021-12-22-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与向量的应用 P070 例5）

设与顺相似,求其顶点对应复数(如对应等)满足的充要条件,并由此推出中垂线的方程.

分析与解

由于且,于是与顺相似的充要条件即为,这等价

由此推知与
逆相似的充要条件为

,而、的中垂线方程为逆相似于所满足的方程,即

即.

注当时,中垂线方程为.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与向量的应用 P070 例6）

设圆心在原点,、在圆上,所对应复数分别为、,过与作切线交于,求证:所对应的复数为.

分析与解

设对应的复数为.由于,故由例1知满足.

同理,于是.

考虑到,为半径,故,解得.

注 过圆上两点、(此圆圆心为原点,半径为)的直线方程为.让、,则过的切线方程为.这也是一种便于记忆的形式.